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Pregunta de análisis real del libro de Terence Tao

Tengo problemas con lo que creo que es un problema bastante fácil de la sección seis de la Introducción a la teoría de la medida de Terence Tao. Se agradecerá la ayuda.

Si $F$ es diferenciable en todas partes (y por tanto $F$ es continua), demuestre $F'$ es medible.

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John R. Strohm Puntos 1559

Definir:

$$ g_n(x) = \frac{F(x + 1/n) - F(x)}{1/n} $$

Se trata de una secuencia de funciones medibles. El límite puntual como $n \to \infty$ es $F'$ . Como el límite puntual de una secuencia de funciones medibles es medible, se deduce que $F'$ es medible.

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