¿Preguntas ingenuas sobre los modos de Goldstone y una posible relación de dualidad?

Question

Por ejemplo, consideremos una cadena de Heisenberg ferromagnética (FM) de espín 1D $H=-J\sum_{i=1}^{N}\mathbf{S}_i\cdot\mathbf{S}_{i+1}$ con condiciones de contorno periódicas. Ahora queremos estudiar sus excitaciones de baja energía a través de los siguientes dos enfoques:

(1)Transformación Jordan-Wigner (JW), obtenemos $H\approx H_f=\sum \omega_kf_k^\dagger f_k-\frac{NJ}{4}$ , donde $f_k$ son operadores fermiónicos JW;

(2)Transformación de Holstein y Primakoff (HP), obtenemos $H\approx H_b=\sum \omega_kb_k^\dagger b_k-\frac{NJ}{4}$ , donde $b_k$ son operadores bosónicos HP.

Donde en las dos expresiones anteriores, $\omega_k=J(1-\cos k)$ (fijando la constante de red en la unidad). Entonces los estados básicos de $H_f$ y $H_b$ son los estados de vacío y ambos exactamente igual a el exactamente El estado básico de FM del Hamiltoniano original $H$ . Y la energía del estado básico de $H_f$ y $H_b$ (los términos constantes $-\frac{NJ}{4}$ ) es exactamente igual a el exactamente energía del estado básico del Hamiltoniano original $H$ . Obsérvese que la aproximación $\approx$ indica que hemos asumido la fluctuación de espín (es decir, $\left \langle \hat{n}_i\right \rangle\ll 1$ ) sea pequeño y, por tanto, se han eliminado los términos de orden superior (es decir, las interacciones entre fermiones JW o bosones HP), lo que está justificado porque los estados básicos son los estados del vacío que no contienen fermiones JW ni bosones HP ( $\left \langle \hat{n}_i\right \rangle=0$ ), lo que implica que esta aproximación es al menos autoconsistente. Además, $\omega_k\approx Jk^2/2$ como $k\rightarrow 0$ corresponde al modo Goldstone.

Si creemos que las dos imágenes anteriores son correctas, entonces me surgen algunas preguntas: (1) ¿Pueden las excitaciones elementales de un sistema ser fermiones o bosones, lo que puede depender de la teoría que adoptemos? ¿Existe alguna relación de dualidad o conexión profunda entre los enfoques fermiónico y bosónico? (2) De $H_f$ ¿podemos deducir que el modo Goldstone sin ranura es un fermión? Como siempre decimos un bosón de Goldstone en lugar de un fermión de Goldstone.

Muchas gracias.

Answer 1

Debería decir que tiene 3 preguntas relacionadas, a saber: 1) Hasta qué punto podemos confiar en las aproximaciones basadas en las transformaciones HP y Jw, 2) La naturaleza del espectro de baja excitación y 3) La relación con los modos Goldstone.

En primer lugar, veremos el método Holstein-Primakoff. Los operadores de escalera de espín para en un sitio $j$ vienen dadas por

$S^-_j = \sqrt{2S}b_j^\dagger\sqrt{1-\frac{n_j}{2S}}$

y su adjunto, donde $S$ es el giro de su modelo, en este caso tenemos $S=1/2$ . Estás haciendo la aproximación $S_j^-=\sqrt{2S}b_j^\dagger$ o, en otras palabras, expandir la raíz cuadrada y descartar los términos no lineales, lo que debería ser bueno siempre que $\langle n_j \rangle << S=1/2$ . El spin one-half no es realmente el mejor caso para usar HP porque es el que tiene mayor error en la aproximación lineal. Sin embargo, continuemos. Para estudiar el espectro de baja energía introducimos excitaciones (llamadas magnones) con distribución térmica según la estadística BE $\langle n_k\rangle =(e^{\beta\omega_k}-1)^{-1}$ y ver la corrección de la magnetización $\Delta S(T)=S-\langle S_j\rangle$ en cada sitio. Por invariancia traslacional tenemos $\langle n_j\rangle =\frac{1}{N}\sum_j \langle n_j\rangle$ . Pasando a la representación del momento como es habitual obtenemos

$\Delta S(T)=\int \frac{dk}{2\pi}\frac{1}{e^{\beta\omega_k}-1}$

Es fácil ver que la integral diverge en momentos bajos como $\Delta S \propto \int_\epsilon \frac{dk}{k^2}\propto\frac{1}{k}$ . Esto no es más que un ejemplo del teorema de Mermin-Wagner que dice que en 1 y 2 dimensiones no hay ruptura de simetría espontánea porque los correspondientes bosones de Goldstone sin masa tienen divergencias infrarrojas. Se puede comprobar que en 3D la corrección es la siguiente $\Delta S\propto T^{3/2}$ . Veo que estás interesado en el límite de temperatura cero. Para las teorías de fermiones, el teorema de Luttinger-Ward da las condiciones para que los resultados de temperatura finita se mantengan en el límite de temperatura cero. Para los bosones es algo más difícil porque hay que lidiar con la condensación de Bose. Para el caso simple del modelo de Heisenberg en 1D el resultado clásico de Coleman puede extenderse sin muchos problemas, como él mismo señala, a saber, una proibición de la ruptura espontánea de la simetría en 1D y, en consecuencia, la ausencia de modos de Goldstone.

Así que esto responde a la pregunta 3) respecto a los modos de Goldstone (no existen) y muestra que aunque Holstein-Primakoff parece razonable da resultados difíciles de interpretar en cuanto se habla de excitaciones.

¿Y la transformación JW? Funciona mucho en 1D. De hecho creo que es instructivo trabajar todos los términos. Hay una convención de señales en las transformaciones, pero consigo para el Hamiltoniano completo (en el espacio de la red, y despreciando los términos que dependen sólo de $n_j$ e ignorando el límite porque me preocupa el $N\rightarrow \infty$ límite).

$H_f=\sum_j -J\frac{1}{2}(f_j^\dagger f_{j+1}+f_{j+1}^\dagger f_j) -Jn_{j+1}n_j$

con $J>0$ . En el espacio del momento el primer término es el cinético que escribiste. El segundo es fácil de ver que corresponde a una interacción atractiva. Por lo tanto en cuanto pongas excitaciones tienes que preocuparte de que los fermiones formen estados ligados.

De hecho, el modelo de Heisenberg de una dimensión es exactamente resoluble por Ansatz de Bethe y se puede demostrar que el espectro de baja energía está formado por bosones huecos, que desde el punto de vista de JW son estados ligados. Si se quiere entender el $N$ El modelo Bethe Ansatz es aún mejor, ya que se pueden construir las energías exactas y los estados propios correspondientes.

En resumen, HP no es realmente fiable en este caso, es mejor mirar a JW, pero en bajas dimensiones básicamente toda interacción es fuerte sin importar lo débil que sea el acoplamiento, así que vale la pena mirar más allá de los primeros términos en la teoría de perturbaciones. Y no hay modo Goldstone, bosón o fermión, debido a la divergencia infrarroja.

Sin embargo, es bien sabido que en los sistemas unidimensionales no tenemos el teorema del espín-estadístico, a saber, porque no hay una definición consistente de espín. Por lo tanto, existe un mapeo de bosones a fermiones. Este artículo discutir la equivalencia entre fermiones y bosones. En caso de que quieras discutir más te recomiendo el gran libro de Giamarchi "Quantum Physics in one dimension". Encontrarás mucho sobre los líquidos de Luttinger, la bosonización y hay una breve introducción al Ansatz de Bethe, con excitaciones de baja energía.

Para profundizar en el modelo de Heisenberg en 1D me gusta mucho "The theory of magnetism made simple", de Daniel Mattis. Aunque no es tan simple.

Para una relación entre los bosones y los fermiones en el contexto del modelo de Heinsenberg, compruebe este documento de Luscher donde discute el antiferromagneto como una regularización de la red del modelo de Thirring, que Coleman había demostrado que era equivalente al modelo de Sine-Gordon. Es posible que el caso del ferromagneto que te interesa también posea una relación similar.

Answer 2

La respuesta a la aparente contradicción de estas dos transformaciones (las excitaciones parecen ser o bien bosónicas o bien fermiónicas) viene el hecho de que los espines no son equivalentes a los fermiones, porque tienen cuerda unida a ellos, para respetar la naturaleza conmutativa de los espines en diferentes sitios, véase la transformación JW en wiki .

Por tanto, aunque el hamiltoniano se exprese en términos de fermiones (sin cuerdas, que es una especificidad de los sistemas unidimensionales), las funciones de correlación de espín no son fermiónicas (las cuerdas lo aseguran).

La excitación de los espines es esencialmente bosónica, como también puede verse en el mapeo exacto de los espines a los bosones duros (no más de un bosón por sitio).

De hecho, mediante la fermionización, se pueden expresar sistemas bosónicos unidimensionales con operadores fermiónicos, aunque las funciones de correlación respetarán las relaciones de conmutación bosónicas, gracias de nuevo a las cuerdas unidas a los fermiones.

Answer 3

Hay una sutileza importante oculta en los términos de interacción de bosones de orden superior en la transformación HP. Si se incluyen los términos de interacción a todos los órdenes, se encuentra que en cualquier dimensión, un sistema de espín-1/2 es exactamente dual a un sistema de hard-core bosones a través de la transformación HP. En una dimensión (sólo), también es dual a un sistema de fermiones a través de la transformación JW. Al concatenar estas dos transformaciones como sugieres, encontramos que en una dimensión, los fermiones son exactamente equivalentes a hard-core bosones (y ambos son equivalentes a cadenas de espín-1/2). Heurísticamente, esto se debe a que no hay forma de trenzar partículas de ninguno de los dos tipos en 1D, por lo que no necesitamos preocuparnos por el signo menos del intercambio fermiónico. La bosonización aclara esta conexión: en 1D, las teorías bosónicas y fermiónicas pueden mapearse entre sí con relativa facilidad.

Por lo tanto, es sólo una cuestión filosófica si las excitaciones de una cadena de espín-1/2 deben considerarse bosónicas o fermiónicas: ambas imágenes son útiles en contextos diferentes. A grandes rasgos, la imagen bosónica suele ser más útil para los cálculos numéricos porque el espacio de Hilbert tiene una estructura de producto tensorial más sencilla. La imagen fermiónica es a veces más útil para los cálculos analíticos porque los fermiones interactúan más débilmente (a veces incluso son libres, como en los casos de Ising transversal y $XY$ cadenas). Por otro lado, a menudo utilizamos la bosonización para mapear sistemas fermiónicos a bosónicos, que pueden ser más fáciles de trabajar analíticamente. Y en el ansatz de Bethe, las excitaciones bosónicas son mucho más naturales conceptualmente que las fermiónicas.