limitado por

Question

He resuelto un ejercicio en el que la primera parte pide demostrar que para cualquier medida de conservación transformación medible $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ tenemos $$\liminf_{n} n |f^n(x)-x| \leq 1, \ \mbox{a.e.}$ $

No puedo demostrar la segunda parte del ejercicio: que $\omega=(\sqrt{5}-1)/2$ y que $f:[0,1]\rightarrow[0,1]$ definidas como $f(x)= (x+\omega) \pmod{1}$. Use esta transformación para demostrar que no es ninguna $c<\frac{1}{\sqrt{5}}$ tal que % $ $$\liminf_{n} n |f^n(x)-x| \leq c$

¡Gracias chicos de antemano! (Siento los errores!)

Answer 1

Siempre estamos tratando con $\omega \pmod 1$ doen no hace ninguna diferencia para lidiar con $\omega+1 = \frac{\sqrt{5}+1}{2}= \phi$. Por lo tanto, podemos aplicar Hurwitz del teorema que establece que: para cada número irracional $\zeta$ hay infinitamente muchos racionales $m/n$ tal que $$\left| \zeta - \frac{m}{n} \right| \leq \frac{1}{\sqrt{5} n^2}$$ Por otra parte $\sqrt{5}$ es la mejor constante se puede obtener: si reemplazar con un $A>\sqrt{5}$ y tome $\zeta=\phi$ hay sólo un número finito de os números racionales chupar la propertry cogida con $A$ en lugar de $\sqrt{5}$.

Aquí puedes descargar un libro de Carlos Gustavo Tamn de A. Moreira (Gugu), un investigador de la IMPA - Rio de Janeiro, Brasil, donde en la página 47 se puede ver este resultado. (la prueba se inicia en la página 60)

El documento original es: Hurwitz, A. (1891). "Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch justificación Brüche (relativa A la aproximación de números irracionales por racionales números)" (en alemán). Mathematische Annalen 39 (2): 279-284. doi:10.1007/BF01206656. JFM 23.0222.02