Motivación para una nueva definición de la derivada utilizando el concepto de velocidad media

Question

Como todo el mundo sabe, para una función $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ y un punto de $ a \in \mathbb{R} $, podemos decir que la derivada de $ f $ $ a $ es igual a $ L $ si y sólo si $$ \lim_{x \a} \frac{f(x) - f(a)}{x} = L. $$

Ahora, la mayoría de los libros de texto de partículas en la mecánica de la oferta la siguiente receta para definir la velocidad instantánea de una partícula que viaja a lo largo de una línea recta.

• Deje $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ denotar la función de desplazamiento de una partícula que viaja a lo largo de la $ x $-eje, con respecto al tiempo. El objetivo es definir la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo $ t_{0} $.

• Elegir una secuencia de no degenerada delimitada cerrado intervalos de $ ([a_{n},b_{n}])_{n \in \mathbb{N}} $ tal que $ t_{0} \in (a_{n},b_{n}) $ todos los $ n \in \mathbb{N} $$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0 $.

• Calcular la secuencia de velocidades promedio $ (v_{\text{ave},n})_{n \in \mathbb{N}} $ de la partícula a lo largo de estos intervalos cerrados, es decir, $$ (v_{\text{ave},n})_{n \in \mathbb{N}} \stackrel{\text{def}}{=} \left( \frac{f(a_{n}) - f(b_{n})}{a_{n} - b_{n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}. $$

• Definir la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo $ t_{0} $$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} v_{\text{ave},n} $, si es que existe.

Esta receta es de alguna manera propone una nueva definición de la derivada de una función. Permítanme describir de forma precisa en términos matemáticos.

Considere la posibilidad de $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $. Deje $ a \in \mathbb{R} $, y deje $ \Lambda $ el conjunto de no-degenerada delimitada cerrado intervalos de $ I $ tal que $ a \in I^{\circ} $. Definir un orden parcial $ \preceq $ $ \Lambda $ $ I \preceq J \iff I \supseteq J $ todos los $ I,J \in \Lambda $. Uno puede comprobar fácilmente que $ (\Lambda,\preceq) $ es un conjunto dirigido. A continuación, defina una neto $ \lambda: \Lambda \to \mathbb{R} $ por $$ \forall I \en \Lambda: \quad \lambda I) \stackrel{\text{def}}{=} \frac{f({\frak{l}}(I)) - f({\frak{r}}(I))}{{\frak{l}}(I) - {\frak{r}}(I)}, $$ donde $ {\frak{l}}(I) $ $ {\frak{r}}(I) $ denotar la izquierda y a la derecha los extremos de $ I $ respectivamente. A continuación, definir $$ f'(a) \stackrel{\text{def}}{=} \lim_{I \in \Lambda} \lambda I), $$ si es que existe.

Pregunta: ¿Cómo podemos demostrar que esta nueva definición de la derivada está de acuerdo con la habitual?

Answer 1

En la siguiente se supone que $a<0<b$ siempre que las cartas de $a$ $b$ aparecen. Entonces uno tiene el siguiente

La proposición. Deje $f:\ U\to{\mathbb R}$ ser definida en una vecindad de a $0$. Si el límite $$\lim_{b-a\to0}{f(b)-f(a)\over b-a}=:p$$ existe entonces la cara de los límites de $\lim_{x\to0-} f(x)$ $\lim_{x\to0+} f(x)$ existen y son iguales. Si $f(0)$ es igual a este límite, a continuación,$f'(0)=p$.

Prueba. La sustracción de una función lineal a partir de $f$ asumimos $p=0$. Supongamos que un $\epsilon>0$ ser dado. Luego por supuesto hay un $\delta\in\ \bigl]0,{1\over4}\bigr]$ tal que para $$-\delta < a < 0 < b <\delta$$ uno tiene $$|f(b)-f(a)|<\epsilon(b-a)<{\epsilon\over2}\ .\tag{1}$$ De ello se desprende que para arbitrario $x$, $x'\in\ ]0,\delta[\ $ y $a:=-{\delta\over2}$ estamos seguros de que $$|f(x)-f(x')\leq |f(x)-f(a)|+|f(a)-f(x')|<\epsilon\ .$$ Esto implica por Cauchy del criterio de la existencia de la $\lim_{x\to0+} f(x)$. Asimismo, para $\lim_{x\to0-} f(x)$, y, a continuación, la igualdad de los dos límites es obvio.

Para la última declaración de ahora suponemos $f(0)=\lim_{x\to0} f(x)$. Dejando $a\to0-$ $(1)$ vemos que $$|f(b)-f(0)|\leq\epsilon b\qquad(0<b<\delta)\ ,$$ y como $\epsilon>0$ era arbitraria, esto implica $$\lim_{b\to0+}{f(b)-f(0)\over b}=0\ .$$ Argumentando similar sobre el de la izquierda, límite que se hacen.$\qquad\square$

El recíproco de esta proposición ha sido tratada por coffeemath.

Answer 2

Las dos versiones pueden ser comparadas usando la ecuación (donde $h,k>0$) $$\frac{f(x+h)-f(x-k)}{h+k}=\frac{h}{h+k}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{k}{h+k}\frac{f(x)-f(x-k)}{k}.$$

Si $f$ es diferenciable en el sentido usual de la palabra, entonces la diferencia de dos cocientes en el derecho están de acuerdo y tienen en común el valor de $f'(x)$$h,k \to 0.$, a Continuación, en el límite del lado derecho es $f'(x)$ en la definición habitual, ya que el derecho es una combinación afín.

Por otro lado, el uso de la "nueva" derivado de la definición, que se puede dejar que cualquiera de $h$ o $k$ enfoque de cero, primero, y luego el otro enfoque de cero. Asumiendo $f$ es continua, si lo primero que vamos a $h\to 0$ nos encontramos con la habitual izquierda derivados, y si lo primero que vamos a $k$ ir a cero nos encontramos con la habitual de derecho derivado, por lo que estos coincidan y $f$ es diferenciable en el sentido usual de la palabra con valor en el límite de la "nueva" definición.

EDIT: Haskell Curry ha señalado que uno no puede dejar uno de $h,k$ enfoque de cero, primero, y luego el otro. En otras palabras, durante el enfoque de cada uno a cero, ambos de $h,k$ debe seguir siendo positivo. Dado esto, la "nueva" definición diremos que la función de $f(x)=0$ $x\ne 0$ $f(0)=1$ ha derivado $0$$x=0$, pero esta función $f$ no es diferenciable en el sentido habitual en $x=0$ (no continua).