Productos en la categoría de espacios lineales normados

Question

He tratado de formular la noción de productos de mí mismo y esto es lo que se me ocurrió:

Deje $(X_i, |*|_i), i\in I$ ser una colección de normativa espacios lineales y $f_i:Y\to X_i$ una colección de limitada lineal mapas, todos los índices por el conjunto de $I$.

Mientras $I$ es un finit conjunto podemos tener todos los mapas de la siguiente manera:

$Y\overset{\triangle}{\to}\prod_{I}Y\overset{\prod_{i\in I} f_i}{\to}\prod_{i\in I}X_i\overset{p_i}{\to}X_i$

donde la norma en los productos está dada por:

$|x|=\underset{i\in I}{sup}(|x_i|_i)$

Como se puede observar este es un pariente cercano a $l^\infty$. Podemos formular la noción de co-productos en la doble forma y conseguir algo parecido a $l^1$, pero sólo con finit sumas.

$|x|=\sum_{i\in I}|x_i|_i$

Originalmente elegir el supremum de la norma (en el producto), por lo que sería trabajar con infinidad de productos, estoy, sin embargo, ya no es seguro.

Yo quería usar la definición de arriba para iluminar la diferencia entre la debilidad de la topología y de la debilidad de la convergencia.

Para empezar me imagine que estamos en la siguiente posición:

$X\overset{\triangle}{\to}\prod_{X'}X\overset{\prod_{\lambda\in X'} \lambda}{\to}\prod_{X'}\mathbb{R}\overset{p_i}{\to}\mathbb{R}$

La topología débil en $Y$ puede obtenerse como el más áspero de la topología de donde $(\prod_{\lambda\in X'}\lambda)\triangle$ es continua con respecto a la topología producto en $\prod_{X'}\mathbb{R}$, mientras que la debilidad de la convergencia correspondes a la norma de producto definido anteriormente, que correspondes a la caja de la topología.

Ahora, para los objetos de esto parece estar funcionando bastante bien, pero se me ocurre que $(\prod_{\lambda\in X'}\lambda)\triangle$ no necesita ser delimitado, de hecho, tan largo como X' no es uniformemente acotada no.

Así que ahora estoy con la esperanza de que hice algo mal. Realmente quiero que la categoría de normativa vectorspaces tener infinito productos y se me hace un poco triste pensar que puede ser que no.

Alternativamente, esta es la razón por la que las ideas de uniforme acotamiento son tan importantes y necesito incorporar estos de alguna manera. He leído sobre ellos, pero yo, sinceramente, no emabrgo significanse en el tiempo y que no puede ver realmente su lugar en el cuadro grande. Cualquier ayuda en ese sentido también sería muy appreaciated.

Yo apologice si la pregunta es vaga para ser un adecuado StackExchange pregunta.

Answer 1

Su propuesta de construcción no describe un producto en la categoría de normativa espacios y delimitada lineal de mapas, y el problema es, de hecho, una falta de uniformidad de los límites.

No es un problema moral con la categoría de la normativa de los espacios y delimitada lineal de los mapas, que es el isomorfismo en esta categoría no captura de isomorfismo isométrico de la normativa de los espacios. Cualquier categórica construcciones en esta categoría son, por tanto, sólo es única, hasta la equivalencia de las normas.

La correcta salvar a cambio categorías: usted debe estar trabajando en la categoría de normativa espacios y débiles contracciones (bounded lineal mapas de la norma en la mayoría de las $1$). Isomorphisms en esta categoría son isometrías, de manera categórica las construcciones en que son únicos hasta isometría. Esta categoría es completa y cocomplete. Algunos detalles se pueden encontrar en este blog (que aborda la estrecha relación de la categoría de los espacios de Banach y la debilidad de las contracciones). En particular, la categoría de producto de una arbitraria de la familia $X_i, i \in I$ de la normativa de los espacios es el subespacio del conjunto de la teoría de producto $\prod X_i$ para que el sup norma se describen existe, junto con la norma.

Answer 2

Por desgracia (!?) la categoría de la normativa de los espacios no tienen (aún contables) infinita de productos. Este es ya visible en el producto de countably muchas líneas. Este producto existe como un pre-Frechet espacio, (es decir con una traducción-invariantes métricos dando un localmente convexo topología), pero definitivamente no como una normativa espacio. (Para demostrar que la topología de un espacio metrizable no está dada por una norma, que es suficiente para mostrar que algunos pelota no es limitada... y ejercicio interesante aquí.)

De hecho, proyectiva límites son subespacios cerrados de los productos correspondientes, por lo que si contables productos existido (que no), en espacios como el $C^\infty[a,b]$ (proj lim de $C^k[a,b]$) tienen una topología dada por una norma, que no es así. (Uno podría decir que es lamentable, pero es un hecho.)

Así, la pre-Frechet espacios admitir contables de los productos.

Innumerables productos, incluso de líneas, no se metrizable, porque no van a admitir una contables de la base local. :)

Tales cuestiones/ejemplos ilustran la necesidad de un amplio repertorio de espacios vectoriales topológicos.

Edit: de Hecho, como Qiaochu Y. notas, me hizo suponer que el producto de la normativa de los espacios sería un producto de espacios topológicos. Esto plantea un punto interesante: ¿quieres esto o no? Si uno puede hacer sin ella, entonces Qiaochu la respuesta de la muestra convenientemente restringido de la categoría en la que la normativa espacios tienen los productos. Pero si uno necesita, o insiste a su vez, el producto de ser un producto en la categoría de espacios vectoriales topológicos, entonces no hay ninguno.

Answer 3

Usted podría estar interesado en de Lowen espacios de acercamiento. Puntero está sobre el límite de mi capacidad para este tema.