Particiones de$n$ en pruebas de partes impar e impar pares

Question

Deje $p_\text{odd}(n)$ denotar el número de particiones de $n$ en un número impar de piezas, y deje $p_\text{even}(n)$ denotar el número de particiones de $n$ en un número de partes. ¿Cómo puedo probar que

1. $|p_\text{even}(n) - p_\text{odd}(n)|$ es igual a las particiones de $n$ en distintas impar de piezas.

2. Muestran que el número de particiones de $n$ para que ninguna parte aparece exactamente una vez es igual al número de particiones de n para el cual cada parte es divisible por 2 o 3.

3. Muestran que el número de particiones de $n$ para que ninguna parte aparece más de dos veces es igual al número de particiones de $n$ para que ninguna parte es divisible por 3.

Answer 1

Para que veais la diferencia aquí es un enfoque ligeramente diferente a la primera parte, que luego continúa a lo largo de la ruta de acceso en el enlace de Brian Scott.

La generación de la función del conjunto de particiones por el número de piezas es dada por $$ G(z,u) = \prod_{k\ge 1} \frac{1}{1-uz^k}.$$ De ello se desprende que la generación de la función del conjunto de particiones con un número par de partes está dada por $$ G_1(z) = \frac{1}{2} G(z, 1) + \frac{1}{2} G(z -1) = \frac{1}{2} \prod_{k\ge 1} \frac{1}{1-z^k} + \frac{1}{2} \prod_{k\ge 1} \frac{1}{1+z^k}.$$ Asimismo, para un número impar de partes, $$ G_2(z) = \frac{1}{2} G(z, 1) - \frac{1}{2} G(z -1) = \frac{1}{2} \prod_{k\ge 1} \frac{1}{1-z^k} - \frac{1}{2} \prod_{k\ge 1} \frac{1}{1+z^k}.$$ Por lo tanto $$ G_1(z) - G_2(z) = Q(z) = \prod_{k\ge 1} \frac{1}{1+z^k}$$ y esta es la generación en función de la diferencia entre el número de particiones en un par o impar el número de piezas.

Ahora observe que este es $$\prod_{k\ge 1} \frac{1-z^k}{1-z^{2k}} = \prod_{k\ge 0} (1-z^{2k+1})$$ debido a que el denominador se anula todos los factores, incluso con poderes en el numerador.

Esta es una observación importante: la expresión anterior de $Q(z)$ enumera las particiones en un único impar de piezas en la generación de la función de firmado coeficientes, donde el signo indica la paridad en el número de piezas. No hay ninguna cancelación entre particiones que suman el mismo valor debido a que la cuenta de las partes constituyentes tienen la misma paridad. Además, como todas las piezas son impares, particiones de números impares debe tener un número impar de piezas y de números, un número par. Por lo tanto, los coeficientes de $Q(z)$ se alternan en signo.

Para obtener la serie que genera los valores absolutos de estos coeficientes, podemos crear funciones de generación para la que incluso los poderes y los impares, invirtiendo el signo de los coeficientes de los extraños. El incluso los generados por $$\frac{1}{2} Q(z) + \frac{1}{2} Q(-z)$$ y los impares por $$-\left(\frac{1}{2} Q(z) - \frac{1}{2} Q(-z)\right)$$ La adición de estos da $$ Q(-z).$$ Pero esto es $$\prod_{k\ge 0} (1-(-z)^{2k+1}) = \prod_{k\ge 0} (1-(-1)^{2k+1} z^{2k+1}) = \prod_{k\ge 0} (1+ z^{2k+1}),$$ precisamente la generación de la función de particiones en distintas impar de piezas.

Esta es la secuencia de A000700 de la OEIS.

Answer 2

Continuando con lo que Brian Scott comenzó, tenemos para el número tres, que esta es la generación de la función de particiones en el que ninguna parte aparece más de dos veces:$$\prod_{k\ge 1} (1+z^k+z^{2k}).$$ Y la generación de la función de particiones en el que ninguna parte es divisible por tres es $$\prod_{k\ge 0} \frac{1}{1-z^{3k+1}} \prod_{k\ge 0} \frac{1}{1-z^{3k+2}}.$$ Tenga en cuenta que la segunda generación de la función se puede escribir como $$\prod_{k\ge 1} \frac{1-z^{3k}}{1-z^k}$$ porque los numeradores cancelar todos los denominadores donde un poder de $z$ aparece cuyo exponente es divisible por tres. Pero tenemos $$\frac{1-z^{3k}}{1-z^k} = 1 + z^k + z^{2k},$$ demostrando la reclamación.

Esta es la secuencia de A000726 de la OEIS.

Answer 3

Para la segunda parte, la generación de la función de las particiones en el que ninguna parte aparece exactamente una vez está dada por $$\prod_{k\ge 1} \left(-z^k + \frac{1}{1-z^k}\right) = \prod_{k\ge 1} \frac{z^{2k}-z^k+1}{1-z^k} = \prod_{k\ge 1} \frac{1+z^{3k}}{1-z^{2k}}.$$ Ahora la generación de esta función puede ser escrito como $$\prod_{k\ge 1} \frac{1+z^{3k}}{1-z^{2k}} \frac{1-z^{3k}}{1-z^{3k}} = \prod_{k\ge 1} \frac{1-z^{6k}}{(1-z^{2k})(1-z^{3k})}.$$ Esta, precisamente, la generación de función, donde todas las partes son divisibles por dos o tres porque el factor en el numerador compensa el hecho de que las partes divisible por seis aparecer dos veces (una vez a la izquierda y a la derecha) en los dos factores en el denominador.

Esta es la secuencia de A007690 de la OEIS.