Demuestre que la desigualdad tiene$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\ge\frac{7}{12}$

Question

Tenemos que demostrar que:

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Para ser honesto no tengo idea de cómo tratar con él. Sólo sospecho que habrá necesidad de considerar dos casos para$\displaystyle\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\ge\frac{7}{12}$ y$n=2k$

Answer 1

Para $n = 2k$

$$\frac{1}{n} + \ldots + \frac{1}{2n} = \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \ldots + \frac{1}{3k} \stackrel{\downarrow}{+} \frac{1}{3k+1} + \ldots + \frac{1}{4k} \geq\\ \geq \overbrace{\frac{1}{3k} + \frac{1}{3k} + \ldots + \frac{1}{3k}}^{k+1 \text{momentos}} + \overbrace{\frac{1}{4k} + \frac{1}{4k} + \ldots + \frac{1}{4k}}^{k \text{momentos}} = \frac{k+1}{3k} + \frac{k}{4k} \geq \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} $$

Para $n = 2k+1$

$$\frac{1}{n} + \ldots + \frac{1}{2n} = \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} + \ldots + \frac{1}{3k} \stackrel{\downarrow}{+} \frac{1}{3k+1} + \ldots + \frac{1}{4k+2} \geq\\ \geq \overbrace{\frac{1}{3k} + \frac{1}{3k} + \ldots + \frac{1}{3k}}^{k \text{momentos}} + \overbrace{\frac{1}{4k} + \frac{1}{4k} + \ldots + \frac{1}{4k}}^{k \text{momentos}} + \frac{1}{4k+1} + \frac{1}{4k+2} \geq \\ \geq \frac{k}{3k} + \frac{k}{4k} + \geq \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} $$

Answer 2

Sugerencia Por la monotonicidad de$x \mapsto \frac{1}{x}$, tenemos

ps

Un cálculo directo de esta última integral produce un límite aún más nítido:

ps

Para la última nota de desigualdad, se deduce de$$\frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{2n} = \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} \geq \int_n^{2n} \frac{1}{x} \, dx.$ que

ps

De ahí$$\frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{2n} \geq \ln 2 > \frac{7}{12}.$.

Answer 3

Usted tiene razón: considere el caso$n=2k$ y$n=2k+1$. El caso$n=2k$ es más fácil y es como sigue.

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¿Puedes lidiar con el caso$$\frac1{2k}+\cdots+\frac{1}{3k}\geq (k+1)\frac{1}{3k}\ge\frac 13$?

Answer 4

(Lo siento, no tengo suficiente reputación para comentar y tiempo para comprobar que mi respuesta está bien, pero podría ayudarle mientras que una respuesta mejor viene)

Quizás podrías usar este teorema y observar que:

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EDIT: saz propuso la misma demostración pero justificada, que me parece mucho más elegante que tocar los elementos de la suma! :RE

Answer 5

Insinuación

Intente la inducción con LHS$> \dfrac{2n}{3n+1}$. A continuación, muestre para$n>2$ esto es mayor que RHS.

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Nota: su enfoque de la división en dos casos también debería funcionar, si se emparejan términos simétricamente distantes de medio, y los vincula con la suma de términos extremos.