¿Por qué hay exactamente dos cocircuitos para una base dada$B$ y$e\in B$?

Question

Estoy muy familiarizado con el tema de la orientada a matroids y estoy empezando a aprender sobre él. Yo quiero probar el siguiente resultado que es necesario para definir fundamental cocircuits. Por desgracia, yo no tuve éxito en hacerlo, hasta ahora. Por lo tanto, le agradecería cualquier aporte sobre cómo obtener el resultado.

Reclamo: Vamos a $\mathcal{M} = (E, \mathcal{F})$ ser orientado matroid y $\mathcal{D}$ el conjunto de sus cocircuits. Para cada base $B$ (de la base de matroid) y cada una de las $e\in B$ existen exactamente dos cocircuits $X, -X \in \mathcal{D}$ tal que $B\backslash e \subseteq X^0$. En este caso,$X_e\neq 0$.

Para mayor claridad, voy a describir el escenario en el que estoy trabajando en e incluir las respectivas definiciones que quiero usar para obtener el resultado anterior. En particular, estoy buscando una manera de obtener la afirmación de que no necesita ningún tipo de dualidad resultados. Estoy trabajando a través de/mediante la siguiente tesis de Doctorado: http://e-collection.library.ethz.ch/eserv/eth:24433/eth-24433-02.pdf desde que me llevó tanto a la anterior afirmación y la posterior definiciones.

El texto no dice que para la prueba de la reclamación se debe utilizar la definición de base y cocircuit axioma (C2), cf. más abajo, así que creo que todo esto no debe tomar más de un par de líneas.

Gracias por cualquier consejo!

Aquí están ahora las definiciones relevantes:

---

donde durante dos firmar vectores $X, Y \in \{-,+,0\}^E$ $$ (X\circ Y)_e := \begin{cases} X_e &\mbox{if } X_e \neq 0 \\ Y_e & \mbox{otherwise.} \end{casos} $$ y $$ D(X,Y) := \{e \E;\; X_e = -Y_e \neq 0\} $$

---

---

Aquí, $X^0$ indica el cero apoyo de $X$.

---

---

---

Answer 1

Deje $B$ ser una base subyacente de la matroid $\underline{\mathcal{M}} = (E, \mathcal{A})$. y deje $e \in B$. A continuación, $\mathcal{A}$ contiene el plano de $\overline{B\backslash e}$. Esto significa que no existe $Y \in \mathcal{F}$ tal que $\overline{B \backslash e} = Y^0$ y,$B\backslash e \subseteq Y^0$. Ahora sigue a $Y_e \neq 0$, ya que de lo contrario $B \subseteq Y^0$ e lo $\overline{Y^0} = \overline{B\backslash e} = \overline{B}$, una contradicción. Por el Lema 0.6.2 en el PDF enlazadas existe una cocircuit $X \in \mathcal{D}$ tal que $X \preceq Y$$X_e = Y_e$. También tenemos $B\backslash e \subseteq X^0$, lo que le da la existencia. Queda por demostrar que para cualquier otro cocircuit $Z$ satisfacer esta propiedad tenemos $X = Z$ o $X = -Z$.

Suponga $Z$ es otro cocircuit satisfacer $B\backslash e \subseteq Z^0$ tal que $X \neq Z$. La anterior consideración implica $Z_e \neq 0$. La aplicación de cocircuit eliminación (C3) a $X$, $-Z$ y $e$ de los rendimientos de un cocircuit $\tilde{X}$ que satisface $B\backslash e \subseteq \tilde{X}^0$$\tilde{X}_e = 0$, una contradicción. Por lo tanto, cualquiera de las $Z = X$ o $Z = -X$.