Un isomorfismo preocupado por cualquier módulo proyectivo finitamente generado

Question

Este es el problema que quiero resolver :

Demostrar que para cualquier finitely generado proyectiva módulo de $P$ sobre un anillo de $R $, $\mathrm{Hom}(P,M)$ es isomorfo con $\mathrm{Hom}(P,R)\otimes M $.

Esto es lo que he hecho:

I definir un mapa : $Hom (P,R) × M \rightarrow Hom (P,M) $, con la ley: $(\phi,m)\rightarrow \phi_m $, $\phi_m (x):=\phi(x) m $.

Este mapa es, obviamente, bilineal, por lo que tenemos un mapa de $Hom (P,R) \otimes M \rightarrow Hom (P,M) $, con la ley $\phi\otimes m \rightarrow \phi_m $, $\phi_m (x):=\phi(x) m $.

Ahora tengo que construir la inversa homomorphism para finalizar la prueba.

Debido a $P $ es finitely generado, podemos suponer $P=R^n $. I definir un mapa:

$Hom (P,M) \rightarrow Hom (P,R)\otimes M $ que envía a$f $$f'\otimes f (1) $, cuando se $1$ es el elemento de identidad de $ P=R^n $. No sé cómo definir $f'$.

Hay alguna sugerencia?

Si usted no está de acuerdo con estos, ¿tienes otra idea?

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Aquí es donde necesita usar la generación finita y la proyección de$P$. Dado que$P$ es finitamente generado, hay un surjective$R$ - map$p : R^n \to P$ para algunos$n > 0$. Proyección de$P$ produce una sección$s : P \to R^n$ de$p$ (de manera que$p\circ s = \operatorname{id}_P$). Para$1\le i\le n$, sea$s_i$ la composición$P \xrightarrow{s} R^n \xrightarrow{\pi_i} R$, donde$\pi_i$ es la proyección en la coordenada$i$ th. Ahora definimos un$R$ $$\operatorname{Hom}(P,M) \to \operatorname{Hom}(P,R) \otimes M$ #% g \ in \ operatorname {Hom} (P, M) )$ by sending a $ E_1, \ ldots, e_n$ to $ R ^ n $.