¿Cómo podemos calcular el resultado de seguir a Integral?
ps
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$$ \begin{align} \oint_{|z=2|} z^3\bar z e^{\frac{1}{(z-1)}}dz&=\oint_{|z=2|} 4z^2 e^{\frac{1}{(z-1)}}dz\\ &=8\pi i \text{Res}_{z=1}\left(z^2 e^{\frac{1}{(z-1)}}\right)\\ \end {align} $$
El residuo$\text{Res}_{z=1} \left(z^2 e^{\frac{1}{(z-1)}}\right)$ se puede encontrar como sigue
Tenga en cuenta que$z^2=(z-1)^2+2(z-1)+1$ y la expansión de Laurent de$e^{\frac{1}{z-1}}$ es
ps
En donde se observa que el residuo a$$e^{\frac{1}{(z-1)}}=1+\frac{1}{z-1}+\frac{1}{2!}\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(z-1)^3}+ \cdots$ de$z=1$ proviene de los 3 términos
$$ \begin{align} &(1)\,\,(z-1)^2 \times \frac{1}{3!}\frac{1}{(z-1)^3}=\frac16 (z-1)^{-1}\\ &(2)\,\,2(z-1) \times \frac{1}{2!}\frac{1}{(z-1)^2}=1 (z-1)^{-1}\\ &(3)\,\, 1 \times \frac{1}{z-1}=1 (z-1)^{-1} \end {align} $$
Por lo tanto, el residuo es$z^2e^{\frac{1}{(z-1)}}$. Por lo tanto,
$$ \begin{align} \oint_{|z=2|} z^3\bar z e^{\frac{1}{(z-1)}}dz&=\oint_{|z=2|} 4z^2 e^{\frac{1}{(z-1)}}dz\\ &=8\pi i \text{Res}_{z=1}\left(z^2 e^{\frac{1}{(z-1)}}\right)\\ &=8\pi i \frac{13}{6}\\ &=\frac{52\pi i}{3} \end {align} $$
