¿Puede ser resuelto?

Question

¿Cómo podemos calcular el resultado de seguir a Integral?

ps

Answer 1

$$\begin{align} \oint_{|z=2|} z^3\bar z e^{\frac{1}{(z-1)}}dz&=\oint_{|z=2|} 4z^2 e^{\frac{1}{(z-1)}}dz\\ &=8\pi i \text{Res}_{z=1}\left(z^2 e^{\frac{1}{(z-1)}}\right)\\ \end {align}$$

El residuo$\text{Res}_{z=1} \left(z^2 e^{\frac{1}{(z-1)}}\right)$ se puede encontrar como sigue

Tenga en cuenta que$z^2=(z-1)^2+2(z-1)+1$ y la expansión de Laurent de$e^{\frac{1}{z-1}}$ es

ps

En donde se observa que el residuo a$$e^{\frac{1}{(z-1)}}=1+\frac{1}{z-1}+\frac{1}{2!}\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(z-1)^3}+ \cdots$de$z=1$ proviene de los 3 términos

$$\begin{align} &(1)\,\,(z-1)^2 \times \frac{1}{3!}\frac{1}{(z-1)^3}=\frac16 (z-1)^{-1}\\ &(2)\,\,2(z-1) \times \frac{1}{2!}\frac{1}{(z-1)^2}=1 (z-1)^{-1}\\ &(3)\,\, 1 \times \frac{1}{z-1}=1 (z-1)^{-1} \end {align}$$

Por lo tanto, el residuo es$z^2e^{\frac{1}{(z-1)}}$. Por lo tanto,

$$\begin{align} \oint_{|z=2|} z^3\bar z e^{\frac{1}{(z-1)}}dz&=\oint_{|z=2|} 4z^2 e^{\frac{1}{(z-1)}}dz\\ &=8\pi i \text{Res}_{z=1}\left(z^2 e^{\frac{1}{(z-1)}}\right)\\ &=8\pi i \frac{13}{6}\\ &=\frac{52\pi i}{3} \end {align}$$