Derivada de Radon-Nikodim de la medida Push-forward

Question

Supongamos que $\mu$ y $\nu$ son medidas de probabilidad sobre $\langle \Omega,\mathfrak{F}\rangle$ tal que $$ (\forall A \in \mathfrak{F})\, \mu(A) \triangleq\int_{\Omega}1_A(x)f(x)d\nu(x), $$ para alguna función medible $f$ . Además supongamos que $\nu\sim\mu$ son medidas de probabilidad equivalentes.

Si $F:\langle \Omega,\mathfrak{F}\rangle\rightarrow \langle \Omega,\mathfrak{F}\rangle$ es una función biyectiva medible con inversa medible entonces es la medida push-forward $F_{\star}\mu$ de la forma $$ F_{\star}\mu(A) = \int_{\Omega} 1_AF\circ fd\nu? $$

Answer 1

La fórmula de cambio de variable implica que el pushforward es $$ F_*\mu (A)=\int_\Omega\mathbb{1}_A\circ F(x)d\mu(x)=\int_\Omega\mathbb{1}_A\circ F(x)f(x)d\nu(x). $$ No veo ninguna razón para que este integrando sea igual al tuyo, $1_AF\circ f,$ casi seguro, como sugiere su conjetura, incluso con supuestos como la biyectividad de $F$ .

Concretamente: que $\nu$ es la medida de Lebesgue en el intervalo unitario, $\mu$ su empuje bajo $x\mapsto x^2$ y $F(x)=\sqrt{x}$ de modo que $F_*\mu$ es la medida de Lebesgue $\nu$ . En $$\mu((a,b))=\int_{F^{-1}(a,b)}d\nu=\int_\sqrt{a}^\sqrt{b}dx=\int_a^b1/(2\sqrt{x})dx, $$ tenemos $d\mu/d\nu= f(x)=1/(2\sqrt{x})$ . Aquí $\mu,\nu$ son equivalentes y $F$ es biyectiva, mientras que su fórmula da $$ (F_*\mu)((a,b))=\int_\Omega \mathbb{1}_{(a,b)}F\circ fd\nu=\int_a^b \sqrt{1/(2\sqrt{x})}dx\neq b-a. $$ Puede ver que la fórmula de la primera pantalla da el resultado correcto, $$ (F_*\mu)((a,b))=\int_\Omega\mathbb{1}_{(a,b)}\circ F(x)f(x)d\nu=\int_{a^2}^{b^2}f(x)dx=\sqrt{x}\Big|_{a^2}^{b^2}=b-a, $$ para que coincida con la medida de Lebesgue en los intervalos y, por tanto, en todo el espacio.