Cualquier homomorfismo no nulo de los haces de vectores holomórficos sobre una superficie compacta de Riemann factores a través de un homomorfismo de rango máximo.

Question

Estaba leyendo el artículo "Haces de vectores estables y unitarios en una superficie compacta" de Narashiman y Seshadri.

Cito del periódico

¿Alguien puede explicar cómo se puede factorizar cualquier homomorfismo no nulo de los haces vectoriales a través de un rango máximo de homomorfismos? Será de ayuda si alguien proporciona una referencia fácil de leer.

Answer 1

Primero, toma $V_2=f(V)$ . Ya que estamos sobre una curva no sinular, $V_2$ es un haz vectorial y tenemos la secuencia exacta superior donde $V_1$ es el núcleo de $f$ . Sea $W_1$ sea el conjunto de todos los elementos de $W$ que van a un elemento de torsión en $W/V_2$ . Entonces tenemos la secuencia exacta inferior, donde $W_2=W/W_1$ . También, $V_2\subset W_1$ . Ambos tienen el mismo rango y la inclusión (como gavillas) dice que es de máximo rango.

Answer 2

Yo también estoy intentando averiguar este hecho, así que intentaré dar una respuesta.

Los dos hechos que requerimos del teorema de la estructura de los módulos finitamente generados sobre un EPI son:

Hecho 1: Todo módulo PID puede descomponerse en sus submódulos de torsión y localmente libres.

Hecho 2: Un módulo PID $M$ y su submódulo propio $N$ tienen los mismos rangos si $M/N$ contienen elementos de torsión.

Básicamente tenemos versiones de gavilla de estos hechos como $\mathcal{O}_X$ es una gavilla de EPIs y los haces vectoriales de interés son $\mathcal{O}_X$ -módulos.

Ahora, podemos empezar. Dejemos que $V_1 = \ker(\alpha)$ y $V_2 = $ im( $\alpha).$ Dado que son subeslabones de una gavilla localmente libre $E$ También son libres a nivel local. Esto nos da la secuencia exacta superior.

Desafortunadamente, la gavilla cokernel coker( $\alpha) = W/$ soy $(\alpha)$ puede no estar libre localmente. Por lo tanto, establezca $$W_2 = \text{coker}(\alpha)/t(\text{coker}(\alpha)),$$ donde $t(\text{coker}(\alpha))$ es su sub-hoja de torsión definida por $$t(\text{coker}(\alpha)) = \bigsqcup_{x \in X} \{ s \in \text{coker}(\alpha)_x : fs = 0, s \in \mathcal{O}_X\}.$$ Esto es localmente libre debido al hecho 1. Fijando $W_1 = \ker(W \rightarrow W_2),$ tenemos la secuencia exacta inferior.

Por definición, $V_2 \subset W_1$ y $W_1/V_2$ contiene elementos de torsión. Por lo tanto, rank( $V_2$ ) = rank( $W_1$ ), lo que hace que $\beta$ un mapa de máximo rango (¿creo?).

Por favor, dígame si este argumento es erróneo.