Sé que todos los múltiplos de$5$ terminan con un$0$ o$5$ como el último dígito. Pero hay una cantidad infinita de números. ¿Hay una manera de demostrar formalmente que esto es cierto para todos los números que utilizan variables?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Deje $n$ ser un múltiplo de $5$, decir $n=5m$ para algunos entero $m$. Si $m$ es incluso, existe un número entero $k$ tal que $m=2k$, y, a continuación,$n=10k$. Si, por otro lado, $m$ es impar, existe un número entero $k$ tal que $m=2k+1$, y que en caso de $n=10k+5$. Para completar el argumento, sólo tenemos que mostrar que cada múltiplo de $10$ termina en $0$.
Supongamos que $n$ es un múltiplo de a $10$, y supongo que cuando está escrito en el ordinario de la notación decimal, es $d_rd_{r-1}\ldots d_0$, donde el $d_k$ son los dígitos. Entonces
$$\begin{align*} n&=10^rd_r+10^{r-1}d_{r-1}+\ldots+10d_1+d_0\\ &=10\left(10^{r-1}d_r+10^{r-2}d_{r-1}+\ldots+10d_2+d_1\right)+d_0\;, \end{align*}$$
donde la cantidad entre paréntesis es un número entero. Por lo tanto,
$$d_0=n-10\left(10^{r-1}d_r+10^{r-2}d_{r-1}+\ldots+10d_2+d_1\right)\;,\tag{1}$$
y si $n$ es un múltiplo de a $10$, en la parte derecha de $(1)$ es un múltiplo de a $10$. Por lo tanto, $d_0$ es un múltiplo de a $10$. Pero $0\le d_0\le 9$, lo $d_0=0$. Esto demuestra que cada múltiplo de $10$ termina en $0$ y, por tanto, que cada múltiplo de $5$ termina en $0$ o $5$.
marty cohen
Puntos
33863
Supongamos que$n = 10m+k$,$0 \le k \le 9$, no es un múltiplo de$5$. Dado que$10m = 2\cdot 5m$ es un múltiplo de$5$,$k$ no es un múltiplo de$5$. Por lo tanto,$k$ no puede ser$0$ o$5$, pero puede ser cualquier otro dígito.
Por lo tanto, el último dígito que es$0$ o$5$ es necesario que$n$ sea un múltiplo de$5$.
Para mostrar que el último dígito es$0$ or$5$
Es suficiente para hacer que$n$ un múltiplo de$5$, escriba $ 10m 0 = 2 \ cdot 5 m = 5 (2m) $ y $ 10m 5 = 2 \ cdot 5 m 5 = 5 (2m 1) $.
