Dado un ancho, altura y ángulo de un rectángulo, y un tamaño final permitido, determine cuán grande o pequeño debe ser para encajar en el área

Question

En otras palabras, si yo tuviera un rectángulo de $10\times 10$ y un ángulo de $45$, y el permitido área se $100\times 100$, el rectángulo sería de alrededor de $70\times 70$.

El permitió que la zona es $100\times 100$ en rojo y el final rectángulo es el azul $70\times 70$ girado rect. Quiero saber cómo conseguir que la "$70\times 70$" para cualquier rect, el ángulo y la zona.

Creo que el rectángulo original de la anchura y la altura no son importantes, sólo a su relación.

Conseguir lo anterior es fácil si es un cuadrado, pero no sé cómo hacerlo si no es un cuadrado rectángulo.

Entonces, ¿qué si yo tuviera un rectángulo de $2\times 3$ o $200\times 300$ y un ángulo de $90$ grados, que debe caber en un espacio de $100\times 20$? O algún otro arbitraria en el espacio?

Hay una fórmula general para determinar el tamaño correcto del rectángulo original de la última área que ocupa?

Answer 1

Nos referimos a la primitiva imagen de arriba. El rectángulo original había lateral horizontal $a$ y el lado vertical $b$. Se fue de gira a través de un ángulo $\theta$ ($t$ en la imagen).

Empezamos con un $a \times b$ rectángulo con bordes horizontal y vertical, de tal manera que los lados de longitud $a$ son horizontales. Hacemos girar el rectángulo de la izquierda alrededor de su centro, a través de un ángulo de $\theta\le \pi/2$.

Cuánto espacio horizontal y vertical es ocupado por el rectángulo girado? (En general, el mínimo rectángulo que contiene la voluntad de no ser un cuadrado.)

El diagrama de arriba se puede ver que la horizontal espacio ocupado es $$a\cos\theta+b\sin\theta,$$
y que la vertical del espacio ocupado es $$a\sin\theta+b\cos\theta.$$

Para suponer que el lado rotulado $a$ tiene una longitud de $a$, y el lado rotulado $b$ tiene una longitud de $b$. A continuación, el lado horizontal $PR$ de los que contiene el rectángulo se compone de dos partes. Por trigonometría básica, la parte $QR$ tiene una longitud de $a\cos\theta$, y la parte $PQ$ tiene una longitud de $b\sin\theta$. Agregar para arriba. Un argumento similar se ocupa con el lado vertical del rectángulo que contiene.

Si queremos ajuste el girado rectángulo en un cuadrado de lado a $s$, el mínimo de $s$ que el trabajo está dado por $$s=\max(a\cos\theta+b\sin\theta, a\sin\theta+b\cos\theta).$$

Si tenemos un cuadrado de lado fijo $d$ (en el post, $d=100$), es posible que desee escala del rectángulo original para hacer la versión rotada ajuste. Deje $\lambda$ (común) factor de escala de los lados de la original $a\times b$ rectángulo que va a hacer el ajuste en la $d\times d$ plaza de ajuste horizontal y/o verticalmente. Entonces necesitamos $$\lambda \max(a\cos\theta+b\sin\theta, a\sin\theta+b\cos\theta)=d,$$ y ahora podemos calcular $\lambda$.

Comentario: El mismo fórmulas básicas se puede utilizar para resolver algunos de los problemas que usted ha mencionado. Hemos obtenido separado fórmulas para la horizontal y vertical del espacio ocupado por el rectángulo girado. Supongamos que nuestro objetivo rectángulo ha dado bordes horizontal y vertical. Podemos calcular el factor de escala $\lambda_h$ que le dará un ajuste horizontal, y el factor de escala $\lambda_v$ que le dará un ajuste vertical. Entonces, el factor de escala para un ajuste horizontal y vertical ajuste es $\min(\lambda_h, \lambda_v)$. (Aquí, como de costumbre, estamos trabajando en la hipótesis de que la proporción de los lados deben ser mantenidos, por lo común un factor de escala debe ser aplicado a cada uno.)

Answer 2

La observación importante es que el ancho de un rectángulo girado es el mayor proyección de una de sus diagonales en el eje horizontal. Si usted tiene un $w \times h$ rectángulo, sus diagonales son $\sqrt{w^2+h^2}$ largo inclinado a $\pm \arctan \frac{h}{w}$ Si gira la reactangle por $\theta$ de las agujas del reloj, los ángulos convertido $\arctan \frac{h}{w}-\theta$ $-\arctan \frac{h}{w}-\theta$ y la anchura total es el máximo de $\sqrt{w^2+h^2} \tan (\arctan \frac{h}{w}-\theta)$$\sqrt{w^2+h^2} \tan (-\arctan \frac{h}{w}-\theta)$. El ancho de un factor de escala es sólo esta dividido por el ancho deseado. Un cálculo similar se puede hacer en altura, dando las alturas $\sqrt{w^2+h^2} \tan (+\arctan \frac{w}{h}-\theta)$$\sqrt{w^2+h^2} \tan (-\arctan \frac{w}{h}-\theta)$. y usted apenas elige el mínimo factor de escala para asegurarse de que encaja.