Para (1), tenga en cuenta que $|\chi(\mathfrak{a})| = 1$ (desde $\operatorname{Cl}(K)$ es finito por lo $\chi$ toma valores en el círculo unitario), por lo que es suficiente para demostrar que el Dedekind zeta función de $\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K} \frac{1}{\left(N\mathfrak{a}\right)^s}$ $K$ converge absolutamente para $\operatorname{Re}(s) > 1$.
Para ver esta convergencia, tenga en cuenta que la única factorización de los ideales de $\mathcal{O}_K$, tenemos
$$
\zeta_K(s)
= \sum_{\mathfrak{a} \subconjunto \mathcal{S}_K} \frac{1}{\left(N\mathfrak{a}\right)^s}
= \prod_{\mathfrak{p}} \left(1 + \frac{1}{\left(N\mathfrak{p}\right)^2}
+ \frac{1}{\left(N \mathfrak{p}\right)^{2}} + \cdots\right)
= \prod_{\mathfrak{p}} \frac{1}{1 - \left(N\mathfrak{p}\right)^{s}}.
$$
Aquí todos los productos se toman distinto de cero el primer ideales de $\mathcal{O}_K$.
Por lo tanto, es suficiente para demostrar que el producto $\prod_{\mathfrak{p}} \big(1 - \left(N\mathfrak{p}\right)^{-s}\big)$ converge absolutamente para $\operatorname{Re}(s) > 1$, y, por la teoría de los infinitos productos, esto es equivalente a la convergencia absoluta de la serie de $\sum_{\mathfrak{p}} \left(N\mathfrak{p}\right)^{-s}$$\operatorname{Re}(s) > 1$.
A continuación, para cada número primo $p$, hay en la mayoría de las $[K : \mathbb{Q}]$ primer ideales en $K$ sobre $p$, y para cada uno de dichos primer ideal $\mathfrak{p}$,$N\mathfrak{p}=p$. Por lo tanto,
$$
\sum_{\mathfrak{p}} \left|\left(N\mathfrak{p}\right)^{s}\right|
= \sum_{\mathfrak{p}} \frac{1}{\left(N\mathfrak{p}\right)^{\operatorname{Re}(s)}}
\leq \sum_{p} \frac{[K : \mathbb{Q}]}{p^{\operatorname{Re}(s)}}
\leq [K : \mathbb{Q}] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\operatorname{Re}(s)}}
= [K : \mathbb{Q}] \zeta(\operatorname{Re}(s)).
$$
Por lo que es suficiente para demostrar que la Riemann zeta función de $\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ converge absolutamente para $\operatorname{Re}(s) > 1$. Esto se deduce fácilmente a partir de, por ejemplo, la integral de la prueba.
