$L$ - función absolutamente convergente para$\text{Re}(s) > 1$, condición para$L(s, \chi)$ convergente para$\text{Re}(s) > 0$?

Question

Tengo dos preguntas relacionadas con aquí.

Deje $K$ ser un campo de número, $Cl(K)$ el ideal del grupo de clase, $\chi: Cl(K) \to \mathbb{C}^\times$ un homomorphism. Si $\mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K$ es cualquier ideal, vamos a $[\mathfrak{a}]$ denotar su ideal de clase en $Cl(K)$, y definir $\chi(\mathfrak{a}) = \chi([\mathfrak{a}])$.

Deje $$L(s, \chi) = \sum_{\mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K} {{\chi(\mathfrak{a})}\over{N\mathfrak{a}^s}}.$$

1. ¿Cómo puedo ver que $L(s, \chi)$ es absolutamente convergente para $\text{Re}(s) > 1$?
2. Lo que necesitamos saber para mostrar que $L(s, \chi)$ converge para $\text{Re}(s) > 0$?

Answer 1

Para (1), tenga en cuenta que $|\chi(\mathfrak{a})| = 1$ (desde $\operatorname{Cl}(K)$ es finito por lo $\chi$ toma valores en el círculo unitario), por lo que es suficiente para demostrar que el Dedekind zeta función de $\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K} \frac{1}{\left(N\mathfrak{a}\right)^s}$ $K$ converge absolutamente para $\operatorname{Re}(s) > 1$.

Para ver esta convergencia, tenga en cuenta que la única factorización de los ideales de $\mathcal{O}_K$, tenemos $$\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a} \subconjunto \mathcal{S}_K} \frac{1}{\left(N\mathfrak{a}\right)^s} = \prod_{\mathfrak{p}} \left(1 + \frac{1}{\left(N\mathfrak{p}\right)^2} + \frac{1}{\left(N \mathfrak{p}\right)^{2}} + \cdots\right) = \prod_{\mathfrak{p}} \frac{1}{1 - \left(N\mathfrak{p}\right)^{s}}.$$ Aquí todos los productos se toman distinto de cero el primer ideales de $\mathcal{O}_K$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que el producto $\prod_{\mathfrak{p}} \big(1 - \left(N\mathfrak{p}\right)^{-s}\big)$ converge absolutamente para $\operatorname{Re}(s) > 1$, y, por la teoría de los infinitos productos, esto es equivalente a la convergencia absoluta de la serie de $\sum_{\mathfrak{p}} \left(N\mathfrak{p}\right)^{-s}$$\operatorname{Re}(s) > 1$. A continuación, para cada número primo $p$, hay en la mayoría de las $[K : \mathbb{Q}]$ primer ideales en $K$ sobre $p$, y para cada uno de dichos primer ideal $\mathfrak{p}$,$N\mathfrak{p}=p$. Por lo tanto, $$\sum_{\mathfrak{p}} \left|\left(N\mathfrak{p}\right)^{s}\right| = \sum_{\mathfrak{p}} \frac{1}{\left(N\mathfrak{p}\right)^{\operatorname{Re}(s)}} \leq \sum_{p} \frac{[K : \mathbb{Q}]}{p^{\operatorname{Re}(s)}} \leq [K : \mathbb{Q}] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\operatorname{Re}(s)}} = [K : \mathbb{Q}] \zeta(\operatorname{Re}(s)).$$ Por lo que es suficiente para demostrar que la Riemann zeta función de $\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ converge absolutamente para $\operatorname{Re}(s) > 1$. Esto se deduce fácilmente a partir de, por ejemplo, la integral de la prueba.