Área de superficie y volumen de sólido de la revolución: ¿Por qué$\int 2 \times \pi y \, dx$ no funciona para la superficie, pero$\int \pi \times y^2 \, dx$ funciona para el volumen?
Sé que para el área de superficie, es porque la función está inclinada por lo que no podría ser escrito como Riemann suma, sino también para el volumen, se puede escribir como Riemann suma mientras que la función también está inclinado.
He aquí una explicación que mezcla diferentes cantidades de la intuición y de la leve rigor.
Volumen de un sólido de revolución:
Cuando se utiliza el disco método, la idea es que estamos sumando los volúmenes de una enorme cantidad de extremadamente delgada discos entre $x=a$ $x=b$ a fin de obtener el volumen del sólido. Los discos, cada uno de radio dado por $y(x)$ y el espesor dado por $\Delta x$. De manera que el volumen de cada disco es $\pi [y(x)]^2 \Delta x$. A continuación, pulsamos esta a través del proceso de límite, de modo que estamos usando la integración de sumar los volúmenes de infinitamente muchos infinitamente delgada discos. Aquí, $y(x)$ permanece $y(x)$ $\Delta x$ hace $dx$ en la integral, y tenemos $\displaystyle V = \pi \int_a^b [y(x)]^2 \, dx$.
La "inclinación" de la función es completamente irrelevante aquí.
Área de la superficie de un sólido de revolución:
Para encontrar el área de la superficie, se quiere añadir la superficie de las áreas de los límites de una cantidad masiva de los extremadamente pequeños aproximado de discos. (Mi uso de la palabra "aproximado" será explicado en breve, y hasta entonces voy a seguir diciendo disco y también voy a dejar de especificar que sólo queremos las áreas superficiales de los límites.) Cada disco tiene radio dado por $y(x)$. Pero esta vez, no podemos tomar a $\Delta x$ a ser el espesor. ¿Por qué no? Debido a $\Delta x$ es una buena aproximación para el grosor del interior de la disco, pero no por el límite de la disco. Y es el límite que nos importa para el área de la superficie, debido a la superficie depende de la circunferencia, y la circunferencia depende de lo que está sucediendo en la frontera.
¿Cómo podemos obtener el espesor (o longitud) de la frontera? Tenemos la necesidad de aproximarse a la frontera con pequeños segmentos de línea. Cada segmento de línea puede ser visto como la hipotenusa de un pequeño triángulo rectángulo cuyas piernas son paralelas a la $x$ - $y$- ejes. La pierna paralela a la $x$-eje tiene una longitud de $\Delta x$ y la pierna paralela a la $y$-eje tiene una longitud de $\Delta y$. Si dejamos $\Delta s$ denotar la longitud de nuestro pequeño segmento de línea, a continuación, obtenemos $\Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.$
Aquí está una foto que ilustra este. Imagino que esto es alguna función que tenemos muy cerca el zoom en:
Así, cada uno de nuestros pequeños discos tiene el área de superficie de aproximadamente dada por $2\pi y(x) \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$. Tenga en cuenta que nuestros discos realmente han inclinado límites. (La línea de segmentos cuyas longitudes son $\Delta s$ son los límites de nuestros discos). Esta es la razón por la que dijo "aproximado" discos anteriores: Nuestros pequeños discos de área de superficie no son perfectos discos (como el que tuvimos por volumen) porque en realidad son los discos inclinadas límites. Y toda esta inclinada límite cosa es necesaria aquí porque debemos dar cabida a la inclinación de la función, debido a que la inclinación afecta a los límites de nuestros discos (pero no su interior, por lo que nos importaba el sesgo para el volumen).
De todos modos, podemos reescribir la superficie aproximada de cada inclinadas límite disco como: $$ 2\pi y(x) \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = 2\pi y(x) \sqrt{(\Delta x)^2 \left[\frac{(\Delta x)^2}{(\Delta x)^2} + \frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2}\right]} = 2\pi y(x) \sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2} \, \Delta x$$
A continuación, pulsamos esta a través del proceso de límite, de modo que estamos usando integración sumar las áreas de las superficies de infinitamente muchos infinitamente delgada discos. Aquí, $y(x)$ permanece $y(x)$, e $\Delta y$ hace $dy$ $\Delta x$ hace $dx$. Así, obtenemos $\displaystyle S = 2\pi \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$.
Resumen:
Para el volumen, empezamos por la suma de los volúmenes de una enorme cantidad de extremadamente delgada discos. Ya que estamos agregando volúmenes, los interiores de los discos que nos interesa. Y $\Delta x$ es una buena aproximación para el espesor de cada disco si estamos buscando sólo en los interiores de los discos.
Para el área de la superficie, empezamos por la suma de las áreas de superficie de una enorme cantidad de extremadamente delgada discos. Ya que estamos agregando la superficie de las áreas, es el de los límites de los discos que nos interesa. Pero $\Delta x$ no es una buena aproximación para el espesor de cada disco, porque no tiene en cuenta la inclinación de la función. Esta es la razón por la $\Delta s$ es necesario. Y la pendiente de la función es importante para este porque la función es el límite de nuestro sólido de revolución, y tenemos que usar el espesor de la frontera para obtener la circunferencia de nuestros "discos" de manera que podamos obtener una aproximación de trabajo de las áreas de superficie.
Está muy correcto en su suposición de que debe haber una cierta simetría en el área de la superficie y el volumen de un cuerpo de revolución. Su único error es que en la superficie no queremos que el área bajo $ydx$, sino que a lo largo de $yds$.
Estas ideas se expresan con bastante claridad en Vilano el Centroide de Teoremas:
Vilano de $(1^{st})$ Centroide Teorema establece que el área de superficie de la $A$ de la superficie de revolución generada por la rotación de un plano de la curva de $C$ alrededor de un eje externo a $C$y en el mismo plano es igual al producto de la longitud de arco $s$ $C$ y la distancia d recorrida por su centroide geométrico (Vilano del teorema del centroide). Simplemente, $S=2\pi RL$ donde $R$ es la distancia normal del centro de gravedad al eje de revolución y $L$ es la curva de longitud. El centro de gravedad de una curva está dada por
$$\mathbf{R}=\frac{\int \mathbf{r}ds}{\int ds}=\frac{1}{L} \int \mathbf{r}ds$$
Vilano de $(2^{nd})$ Centroide Teorema dice que el volumen de un plano de la zona de la revolución es el producto del área de la $A$ y la longitud de la trayectoria trazada por su centroide $R$, es decir, $2πR$. La conclusión es que el volumen está dado simplemente por $V=2πRA$. El centroide de un volumen está dado por
$$\mathbf{R}=\frac{\int_A \mathbf{r}dA}{\int_A dA}=\frac{1}{A} \int_A \mathbf{r}dA$$
Por lo tanto podemos decir que en los casos que
$$ S=2\pi\int y\ ds \\ V=\pi\int y^2\ dx $$
Observe que aquí, la longitud, $L$ y el volumen, $V$ han cancelado, por lo que disfrazar la verdadera naturaleza de las ecuaciones.
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