Existe continuamente $f_n: [0,1] \to \mathbb{R}$ que converge puntualmente, como $n \to \infty$ , a $\chi_\mathbb{Q}$ ?

Question

¿Existe una sucesión de continuos $f_n: [0, 1] \to \mathbb{R}$ que converge puntualmente, como $n \to \infty$ , a $\chi_\mathbb{Q}$ la función característica de los racionales en $[0, 1]$ ?

Answer 1

No puede haber tal secuencia. $\chi_{\Bbb Q}$ es un límite doble de las funciones continuas, cf. la función Dirichlet . Por lo tanto, es una función de clase 2 de Baire. Como dice el artículo, no puede ser una función de clase 1 de Baire (límite puntual único de funciones continuas) porque tales funciones tienen un conjunto escaso de discontinuidades, a diferencia de $\chi_{\Bbb Q}$ . Para comprobarlo, véanse los enlaces y la referencia en las preguntas y respuestas de stackexchange que Joey Zou cita en su comentario.