Cuando es localmente convexo espacio vectorial topológico normal o paracompact?

Question

Todos localmente convexo espacios vectoriales topológicos (LCTVS) son completamente regular, ya que su topología es administrado por una familia de semi-normas. Estoy interesado en las condiciones que implican que un LCTVS es paracompact o normal.

Algunos antecedentes: tengo un espacio en particular en mente. Es la dirigida colimit (unión) a través de un sinnúmero de familia nuclear espacios de Frechet. Es completo pero no metrisable ni separables ni nucleares. Tengo una muy concreta descripción de la misma y puede describir el delimitada (y compacto) de subconjuntos de. Este espacio está bastante mal comportamiento de otras maneras estoy a mitad de previsión de un resultado negativo, por lo tanto las respuestas a lo largo de la línea de "Si usted puede encontrar un subconjunto que se parece a X entonces no puede ser normal" podría ser justo lo que estoy buscando.

Así, en particular, estoy interesado en la cuestión general. Para prevenir un par de "fácil" respuestas: como mi espacio no es Frechet, no es metrisable así que directamente no se puede utilizar teoremas sobre metrisability (sin embargo, como se trata de un colimit puede haber cierto margen para uso indirecto). Y, por supuesto, paracompact implicaría la normalidad, ya que es completamente regular.

Para evitar otro posible comentario, no voy a decir cuál es el espacio en particular. En parte porque estoy más interesado en la situación general, este espacio es simplemente enfocar mi atención en la cuestión, y en parte porque es una pregunta más útil si es general. Un poco de inteligente en la búsqueda revelaría lo que el espacio es de todos modos así que no es de gran dificultad.

Edit: No es un simple ejemplo de un espacio que sería muy interesante saber acerca de: la suma (es decir, subproducto) de un incontable número de copias de $\mathbb{R}$, o incluso más específicamente $\sum_{\mathbb{R}} \mathbb{R}$. Este no es el espacio específico en el que estoy interesada, pero está lo suficientemente cerca que creo que una respuesta de cualquier manera para que este espacio va a decirme lo que tengo que hacer por mi espacio.

Answer 1

Un documento sobre esta (y otras) preguntas para los débiles de la topología de un espacio de Banach ... H. H. Corson, "El débil toplology de un espacio de Banach" Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 101 (1961) 1--15.

En ese caso:

X es paracompact iff X es Lindelof.

Si X^n es normal para todo n, entonces X es real-compacto.

Answer 2

Gracias a tu otra pregunta, yo estaba en un LCTVS patada. Me encontré un criterio general que implica que un localmente convexo espacio es paracompact. De acuerdo a la Enciclopedia de las Matemáticas, si es que Montel (lo que significa que es bombeada y el de Heine-Borel teorema es cierto para él), entonces es paracompact. Aunque este criterio es importante, es el de no utilizar a su pregunta específica.

Pensé que tenía una prueba de la mitad de su pregunta, que me escribió como la primera versión de esta respuesta, pero he cometido un error y que probó algo diferente. Mi pensamiento se basa en el hecho de que la normalidad axioma para un espacio topológico es equivalente a la extensión de Tietze teorema. (Extensión de Tietze de la siguiente manera desde la normalidad. En la otra dirección, si $A$$B$, son los dos conjuntos cerrados, se puede obtener distintos abrir los barrios a partir de una función continua que es 0 $A$ y 1 $B$.) Sin embargo, en mi argumento me combinado el localmente convexo suma directa de espacios topológicos de la suma directa. Para un contable suma directa de copias de $\mathbb{R}$, son la misma topología, y que de acuerdo con el cuadro de la topología. Pero Waelbroeck, LNM 230 puntos que son diferentes en los innumerables casos.

Deje $\alpha$ ser un ordinal, por ejemplo un ordinal de cardinalidad $2^{\aleph_0}$. A continuación, $\mathbb{R}^\alpha$ en el topológica de la suma directa de topología satisface la extensión de Tietze. Deje $A \subset \mathbb{R}^\alpha$ ser un conjunto cerrado y deje $f:A \to \mathbb{R}$ ser una función continua. Para $\beta < \alpha$, vamos a $A_\beta$ ser la intersección de $A$ e con $\mathbb{R}^\beta$. Supongamos que $\alpha = \beta+1$ es un ordinal sucesor. Si $\alpha$ es finito, entonces la conclusión es estándar. De lo contrario, por inducción, no es una extensión de $f_\beta$$f$$\mathbb{R}^\beta$. Por otra parte, por inducción en un sentido diferente, ya hemos demostrado que $\mathbb{R}^{\beta+1}$ es normal, ya que $\beta$ $\beta+1$ tienen la misma cardinalidad. De modo que existe una extensión de $f_\alpha$$\mathbb{R}^\alpha$. Si en lugar de $\alpha$ es un ordinal límite, entonces las extensiones de todo el camino hasta el $\alpha$ trabajo sólo porque el trabajo; que el comportamiento de topológico directa límites.

Después de haber fallado a la normalidad para el localmente convexo suma directa, no puedo decir mucho acerca de paracompactness. :-) Sin embargo, no es un resultado interesante, llamado Michael selección teorema que parece hacer para paracompactness lo que el teorema de Tietze hace a la normalidad. Si el teorema de Tietze es útil para sus espacios, entonces tal vez el Michael selección teorema es demasiado.