1- formas en un toro

Question

Creo que esta es una pregunta muy simple, pero no estoy muy confiado en matemáticas (aunque me gusta mucho)

Vamos a fijar un cubo de $[0,1]^3$ $R^3$ e identificar los lados opuestos, así como para la construcción de un toro T.

Me gustaría construir una base para $\Omega^1(T)$ (la forma) y a entender que 1-formas están cerrados y que son exactas.

1) ¿es posible hacer eso?

Tengo en mente que el toro ha inheritaed una 1-forma $dx$ a partir de la incorporación en $R^3$ (si interpretamos el una de las formas como campos vectoriales, es la 1-forma asociada al vector de campo que tiene coordenadas (1,0,0) en $R^3$), pero no estoy seguro de eso y no sé cómo construir este formulario en un matemático de manera coherente. El hecho de que este toro no tiene una revisión global me confunde...así que...

2) ¿cuál es esta forma de dx en el toro?

Answer 1

Cada punto de ${\bf x}\in T:={\mathbb R}^3/{\mathbb Z}^3$ tiene un espacio de la tangente $T_{\bf x}$ que es una copia de ${\mathbb R}^3$, y el estándar de base $({\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3)$ ${\mathbb R}^3$ puede ser tomado por la traducción. La base dual $({\bf e}^*_1,{\bf e}_2^*,{\bf e}_3^*)$ se compone de las tres coordenadas de los diferenciales de $dx_1$, $dx_2$, $dx_3$, y estos tienen sentido como una base de $T_{\bf x}^*$.

De ello se desprende que a nivel local una $1$-forma en $T$ asume la forma $$\omega=f_1({\bf x}) dx_1+f_2({\bf x}) dx_2+f_3({\bf x}) dx_3\tag{1}$$ con suave coeficiente de funciones $f_i$. Para hacer esto de forma bien definida en $T$ $f_i$ estar bien definido en $T$, lo que significa que tienen que ser $1$-periódica en cada una de las variables $x_k$ $\>(1\leq k\leq3)$ cuando se considera la carta de ${\bf x}$ $(1)$ como un punto en ${\mathbb R}^3$.

La forma $\omega$ es cerrado cuando se tiene localmente un potencial. La condición para ello es que $$d\omega=0\ ,$$ or that the curl of the force field ${\bf F}=(f_1,f_2,f_3)$ se desvanece de forma idéntica.

Si esta condición se cumple uno se puede preguntar si $\omega$ es exacta. Exacto significa que el campo ${\bf F}$ tiene un potencial global $u:\ T\to {\mathbb R}$ que está bien definido en $T$. En este caso,${\bf F}=\nabla u$, o $$\omega=du\ .$$ La condición para que esto suceda es que la integral de la $\omega$, resp. ${\bf F}$, a lo largo de tres generar ciclos de $H^1(T)$ es cero. Por lo tanto, es suficiente para calcular los tres integrales $$\int_0^1 f_i(t\>{\bf e}_i)\ dt\qquad(1\leq i\leq3)$$ y para comprobar si todos ellos se desvanecen.