Comprender la extensión de escalares

Question

Deje $V$ ser finito dimensionales complejo espacio vectorial.

Recientemente pregunté cómo encontrar un

Natural de isomorfismo entre el $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}V$ $V\oplus V.$

y tengo algunos muy bonito respuestas. En particular, me dijeron que el mapa

$$c\otimes v \mapsto (\Re(c)v,\Im(c)v)$$

es un complejo lineal isomorfismo.

Aquí está el problema que estoy teniendo con esto:

Como yo lo entiendo, la multiplicación escalar definido en la extensión de escalares es dada por

$$c'(c\otimes v) = (c'c)\otimes v$$

y con esta multiplicación el mapa de arriba está no complejo lineal. Sin embargo, si uso $$c'(c\otimes v)=c\otimes (c'v)$$ como a mi la multiplicación escalar, a continuación, el mapa es realmente complejo lineal.

Así que ¿cómo conciliar esto con la definición de la multiplicación escalar en una extensión de escalares?

Muchas gracias!

Answer 1

En orden para hacer las cosas menos confuso, me deja configurar algunas anotaciones:

1. Dado un complejo espacio vectorial $V$, voy a escribir $\operatorname{For}(V)$ para el real subyacente espacio vectorial ($\operatorname{For}$ es sinónimo de "olvidadizo" y esta operación se llama en general la restricción de escalares).
2. Cuando sea conveniente, voy a pensar en un complejo espacio vectorial como un par $(W,J)$ donde $W$ es un espacio vectorial real y $J \colon W \rightarrow W$ es un verdadero lineal mapa de satisfacciones $J^2 = -\operatorname{Id}_W$. Dicho mapa se llama lineal compleja estructura en $W$ y se define la estructura de un complejo espacio vectorial en $W$ por la regla de $(a + ib)w := aw + bJw$. Van en la dirección opuesta, un complejo espacio vectorial $V$ da un par de $(\operatorname{For}(V), J_V)$ donde $J_V \colon \operatorname{For}(V) \rightarrow \operatorname{For}(V)$ está definido por $J_V(v) := iv$.
3. La complejización (extensión de escalares) de un verdadero espacio vectorial $W$ se define a ser $W_{\mathbb{C}} := (\operatorname{For}(\mathbb{C}) \otimes_{\mathbb{R}} W, i \otimes \operatorname{Id}_W)$ donde $i = J_{\mathbb{C}} \colon \operatorname{For}(\mathbb{C}) \rightarrow \operatorname{For}(\mathbb{C})$ es el complejo natural de la estructura en $\mathbb{C}$. Es decir, el complejo de la multiplicación en $W_{\mathbb{C}}$ se define mediante la compleja estructura en $\mathbb{C}$ actuar "desde la izquierda" (esta es la única elección razonable como $W$ es sólo un real espacio vectorial).

Ahora, supongamos que $V$ es un espacio vectorial complejo. Podemos formar el verdadero espacio vectorial $\operatorname{For}(\mathbb{C}) \otimes_{\mathbb{R}} \operatorname{For}(V)$ y, a continuación, dotarlo de dos posibles estructuras complejas:

1. Una es $i \otimes \operatorname{Id}_V$ que proviene de la compleja estructura en $\mathbb{C}$. El complejo resultante espacio vectorial $(\operatorname{For}(\mathbb{C}) \otimes_{\mathbb{R}} \operatorname{For}(V), i \otimes \operatorname{Id}_V)$ es el que generalmente se llama la complejización de un complejo espacio vectorial $V$ y el uso de nuestro anterior notación, puede ser denotado por $\operatorname{For}(V)_{\mathbb{C}}$ (nos olvidamos de la compleja estructura de vectores de $V$, lo tratan como un verdadero espacio vectorial y complejizar como antes).
2. La otra es $\operatorname{Id}_{\mathbb{C}} \otimes J_V$ que proviene de la compleja estructura en $V$. El complejo resultante espacio vectorial $(\operatorname{For}(\mathbb{C}) \otimes_{\mathbb{R}} \operatorname{For}(V), \operatorname{Id}_{\mathbb{C}} \otimes J_V)$ es no generalmente se llama la complejización de la $V$.

Usando la terminología de arriba, no es natural complejo isomorfismo entre el $\operatorname{For}(V)_{\mathbb{C}}$ $V \oplus_{\mathbb{C}} V$ que no debería ser sorprendente, ya que la construcción de la $\operatorname{For}(V)_{\mathbb{C}}$ no el uso de la compleja estructura en $V$ mientras que la construcción de la $V \oplus_{\mathbb{C}} V$ sin duda lo hace.

Por otro lado, $(\operatorname{For}(\mathbb{C}) \otimes_{\mathbb{R}} \operatorname{For}(V), \operatorname{Id}_{\mathbb{C}} \otimes J_V)$ es de hecho isomorfo a $V \oplus_{\mathbb{C}} V$ (escrito en un par de notación como $(\operatorname{For}(V) \oplus_{\mathbb{R}} \operatorname{For}(V), J_V \oplus J_V)$).