Si llegamos a especificar que los lados de los puntos dados son, y si no hay dos puntos se encuentran en el mismo lado (a menos que sean adyacentes vértices), entonces, de hecho, parece que los cuatro puntos suficientes. Aquí está una, aún sin terminar la prueba.
En lo que sigue, voy a considerar un punto en el borde de un hexágono si se encuentra en la línea que contiene el borde del hexágono.
Vamos $A$, $B$, $C$, $D$ sean los puntos. Hay tres arreglos para comprobar, que podemos denotar
$$[A, B, C, D, \;\cdot\;, \;\cdot\;] \qquad [A, B, C, \;\cdot\;, D, \;\cdot\;] \qquad [A, B, \;\cdot\;, C, D, \;\cdot\;]$$
Caso $[A, B, C, D, \;\cdot\;, \;\cdot\;]$.
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Vamos $\stackrel{\frown}{AB}$, $\stackrel{\frown}{BC}$, $\stackrel{\frown}{CD}$ se arcos circulares de puntos que $120^\circ$ ángulos con los extremos de los segmentos correspondientes $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$. (Nota: en realidad, Hay dos arcos por cada segmento. Yo todavía no descartar la posibilidad de que diferentes opciones entre estos arcos conducir a soluciones distintas en algunos casos.)
Elija $P$$\stackrel{\frown}{AB}$. Deje $\overrightarrow{PB}$ cumplir $\stackrel{\frown}{BC}$$Q$, y, a continuación, deje $\overrightarrow{QC}$ cumplir $\stackrel{\frown}{CD}$$R$.
La reclamación. Hay en la mayoría de una selección de $P$ que $\overline{PQ}\cong\overline{QR}$. ( $P$ , Y el correspondiente $Q$$R$, son los vértices del hexágono objetivo.)
Caso $[A, B, C, \;\cdot\;, D, \;\cdot\;]$.
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Tomamos $\stackrel{\frown}{AB}$ $\stackrel{\frown}{BC}$ como antes; esta vez, $\stackrel{\frown}{CD}$ el (bueno, un) arco de puntos que hacen un $60^\circ$ ángulo de con $C$$D$.
Punto de $P$ $\stackrel{\frown}{AB}$ conduce a $Q$$R$$\stackrel{\frown}{BC}$$\stackrel{\frown}{CD}$. Sin embargo, $R$ no es un candidato vértice; en lugar de $M$, el punto medio de la $\overline{QR}$ es; y así es $N$, el punto en $\overrightarrow{RD}$ tal que $\overline{MQ}\cong\overline{MN}$.
La reclamación. Hay en la mayoría de una selección de $P$ que $\overline{PQ}\cong\overline{MQ}$. ( $P$ , Y el correspondiente $Q$, $M$, $N$, son entonces los vértices del hexágono objetivo.)
Caso $[A, B, \;\cdot\;, C, D, \;\cdot\;]$.
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Aquí, $\stackrel{\frown}{BC}$ $60^\circ$ ángulos, y $\stackrel{\frown}{CD}$ $120^\circ$ ángulos. El candidato vértices son $P$, $M$ (el punto medio de la $\overline{PQ}$), y $N$ (el punto en $\overline{QC}$ tal que $\overline{MP}\cong\overline{MN}$).
La reclamación. Hay en la mayoría de una selección de $P$ que $\overline{PQ}\cong\overline{QM}$. ( $P$ , Y el correspondiente $M$, $N$, $R$, son entonces los vértices del hexágono objetivo.)
Las tres Afirmaciones acerca de la $P$ parecen seguir a partir de un sencillo argumento de la continuidad: Para $P$ cerca de $A$, algunos de los segmentos en cuestión son más cortos de lo que queremos; por $P$ cerca de $B$, los segmentos son más largos; por la continuidad, debe haber un $P$ que es "justo" (a menos que no $P$ en todos los trabajos para la $A$, $B$, $C$, $D$). Sin embargo, todavía no he explícitamente demostrado que los cambios de longitud son, de hecho, monótono; mi plan es hacerlo en una posterior edición.
