¿Cuál es la integral de $\int\frac{(x-1)e^{1/x}dx}{x}$?

Question

He estado intentando resolver esta integral $\int\frac{(x-1)e^{1/x}dx}{x}$ utilicé WolframAlpha para solucionarlo pero no muestra el proceso. La solución es $e^{1/x}{x} + constant$

Answer 1

Podemos integrar esta separa el integrando e integrando por partes: $$\begin{align} \int\frac{(x-1)e^{1/x}}{x}dx &=\int e^{1/x}dx-\int \frac{1}{x} e^{1/x}dx\\ &=\int e^{1/x}dx+\int x\left(\frac{d}{dx}e^{1/x}\right)dx\\ &= \int e^{1/x}dx + xe^{1/x}- \int e^{1/x}dx\\ &= xe^{1/x} + C \end {Alinee el} $$

Answer 2

$x=\frac1u,dx=-\frac1{u^2}du$

$-\int\dfrac{(\frac1u-1)\frac{e^u}{u^2}du}{\frac1u}$

Llevar la menos interior y multiplicar superior e inferior $u$. Traer el % restante $\frac1u$dentro de los paréntesis.

$\int(\frac1u-\frac1{u^2})e^udu=$

$\int\frac1ud(e^u)+e^ud(\frac1u)=\int d(\frac{e^u}u)=\frac{e^u}u+C=xe^{\frac1x}+C$

Answer 3

Reescribir la integral:

$$\int\frac{(1-x)e^{1/x}}x\,dx=\int\left(1-\frac1x\right)e^{1/x}\,dx=\int e^{1/x}\,dx-\int\,\frac1xe^{1/x}\,dx\;.$$

Ahora trate de informática el primer integral por partes, con $u=e^{1/x}$ y $dv=dx$. Tiene $du=-\frac1{x^2}e^{1/x}dx$ y $v=x$, produciendo

$$\int e^{1/x}\,dx=xe^{1/x}+\int\frac1xe^{1/x}\,dx\;.$$

Pero, sigue inmediatamente a esto

$$\int e^{1/x}\,dx-\int\,\frac1xe^{1/x}\,dx=xe^{1/x}$$

hasta la costumbre constante de integración.