Mientras

Question

Necesito mostrar que $(a+2)^3+(b+2)^3+(c+2)^3 \ge 81$ mientras $a+b+c=3$ $a,b,c > 0$ mediante técnicas de Análisis univariante.

Es intuitivamente claro que $(a+2)^3+(b+2)^3+(c+2)^3$ se encuentra en su mínimo (al $a+b+c=3$) si $a,b,c$ tener "igualdad de pesos", es decir,$a=b=c=1$.

Para mostrar que formalmente uno en primer lugar, puede corregir $0<c \le 3$, introducir una variable $0\le\alpha\le1$ y expresar $a$ $b$ a través de $\alpha$

$$a= \alpha(3-c)$$ $$b=(1-\alpha)(3-c)$$

A continuación, podemos minimizar $(a+2)^3+(b+2)^3+(c+2)^3$ w.r.t $\alpha$ tratamiento $c$ como parámetro. Llegamos $\alpha=\frac{1}{2}(3-c)$. Más que maximizar $(a+2)^3+(b+2)^3+(c+2)^3$ una vez más w.r.t. $c$.

Que es bastante tedioso. Me pregunto si hay una forma más elegante. Probablemente el uso de la idea de las normas. Básicamente, tenemos que mostrar que $\lVert(a,b,c)+(2,2,2)\rVert_3 \ge (81)^{1/3}$ mientras $\lVert(a,b,c)\rVert_1=3$$a,b,c>0$.

Answer 1

Que $f(x) = x^3 $ es una función convexa. Con Jenson obtenemos: $$ \frac{f(a+2)+f(b+2)+f(c+2)}{3} \geq f(\frac{a+b+c+6}{3})=f(3)=27$ $

Answer 2

Porque $(a+2)^3+(b+2)^3+(c+2)^3\geq\frac{1}{9}(a+2+b+2+c+2)^3=81$.

Answer 3

Alternativamente, aquí está una sugerencia $$(x+2)^3-27 -27(x-1) =(x-1)^2(x+8)\geqslant 0$ $