¿Por qué en un incoherente sistema de axiomas cada afirmación es verdadera? (Para Dummies)

Question

Me gustaría saber si alguien puede explicar de alguna manera a la tierra (casi lógica libre) ¿por qué es cierto que en un sistema de axiomas donde hay alguna declaración de $P$ tal que $P$ y su negación $\lnot P$ son verdaderas, entonces cada declaración en el sistema es la verdadera?

No estoy seguro de si esto se puede hacer, pero básicamente ya que no conozco a ninguna lógica formal a todos, estoy interesado en ver si, al menos, el argumento puede ser transmitido de una manera intuitiva, o si la idea puede ser explicado sin hablar primero o de segundo orden de la lógica y el uso de símbolos como $\top$, $\bot$, y $\vdash$.

Esta pregunta anterior es como la versión formal (que no entiendo) así que tal vez mi pregunta puede ser pensado como una versión para dummies de que se trate.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Voy a tratar de decir todo esto en la llanura inglés:

Digamos que decidimos aceptar los siguientes dos hechos: (1) "yo soy un pez", y (2) "yo no soy un pez". Mantener esos en mente.

Ahora vamos a elegir cualquier declaración, decir: (3) "Se puede volar". Ahora vamos a demostrar que la afirmación es verdadera!

Bien, ya hemos aceptado que (1) "yo soy un pez". Por supuesto, en cualquier momento que tengo una verdadera declaración de P, puedo hacer una nueva declaración verdadera, haciendo la declaración de "P o Q es verdadera." Porque para comprobar si una 'o' declaración es verdadera, sólo necesito comprobar que uno de ellos es verdadero. (Si te digo "Mi nombre es Dylan O me puede escupir fuego," no es necesario esperar alrededor con un extintor de fuego para saber si esa afirmación es cierta. Es cierto, porque la primera parte es cierto).

Así por esta lógica, la declaración (4) "yo soy un pez o puede volar" debe ser cierto (ya que la primera parte es cierto.)

OK, pero ahora vamos a decir que, en general, tengo algunos " o " declaración "P o Q" y sé que es un hecho que toda la instrucción es verdadera. Si, también sé que P es falsa , entonces puedo concluir que Q es verdadera. A la derecha? Porque una 'o' enunciado es verdadero si y sólo si al menos una de las instrucciones dentro es cierto, así que si me descartar uno de ellos el otro debe ser cierto. (Así que si siempre me dicen la verdad y yo te dicen que tienes un mil millones de dólares en su cuenta bancaria O me acabo de comer un sándwich, usted puede revisar su cuenta bancaria y rápidamente a la conclusión de que me acabo de comer el almuerzo... a menos que usted está muy rico.)

Bien, hasta ahora tan bueno. Nosotros sabemos la declaración "yo soy un pez o puede volar" es sin duda cierto. Pero espera, también sabemos que la declaración "yo soy un pez" es falso (recuerda que es una de las cosas que asumió en el principio!). Así que eso significa, por lo que acabamos de hablar, que la declaración "puedes volar" debe ser verdadero.

Así que voilà! Con la magia de un contradictorio sistema, hemos comprobado que se puede volar!

Answer 2

Es algo engañoso decir que "cada afirmación es verdadera" acerca de una teoría inconsistente. Esto podría ser un punto de confusión en este asunto, y en general la diferencia entre "verdad" y "provability" la causa de muchas otras confusiones, así que tenemos que ser cuidadosos para distinguirlos.

"Verdad" es una propiedad que una instrucción ha en un modelo en particular. En otras palabras, una declaración en particular es verdadera o falsa en un modelo en particular, suponiendo que la declaración está escrita en un lenguaje formal compatible con el modelo.

Un incoherente teoría no tiene modelos. Si usted no tiene modelos, no hay ningún modelo en el que cualquier afirmación puede ser verdadera. Es correcto decir que cada instrucción en el lenguaje de la teoría es demostrable a partir de una teoría inconsistente, y que cada instrucción en el lenguaje de la teoría es semánticamente implicaba por la teoría. Pero es un abuso de lenguaje para decir que cada instrucción es "verdadera" en la teoría: la verdad, en que modelo?

A veces, cuando la gente de la escritura informal de la prueba, dicen cosas como "asumir $A$ es verdadero" o "supongamos $B$ es falso". Pero estos son sólo figuras de dicción; la prueba real del sistema usualmente tiene otras maneras de lidiar con la hipótesis de que los marca como "verdadero" y "falso". Alternativamente, usted puede ver los refranes como formas abreviadas de "asumir la $A$ que es verdad en algunos fijos, sin especificar el modelo", "suponemos $B$ es falso en nuestra fijo, sin especificar el modelo". La interpretación de la informal es la prueba de bien para cualquier coherente de la teoría. Pero esa interpretación es más difícil para inconsistente teorías. Porque no hay modelos, será un contrafactual declaración.

Answer 3

Las respuestas en la pregunta anterior, todos emplean sintáctica de consecuencia, es decir, consecuencia de una prueba en algún sistema formal. Puede ser más claro en lugar de considerar esto como una consecuencia semántica, es decir, $\rm\ S\models Q\ $ significa que $\rm\:Q\:$ es verdadera en todos los modelos ("mundo posible") donde cada miembro de $\rm\:S\:$ es cierto. Por lo tanto $\rm\ \{P, \lnot P\}\models Q\ $ es cierto vacuously, ya que no existen modelos donde tanto $\rm\:P\:$ $\rm\:\lnot P\:$ son ambas verdaderas, es decir, no hay ningún modelo de presenciar un contraejemplo a esta consecuencia, en donde cada elemento de a $\rm\:S\:$ es verdad, pero de $\rm\:Q\:$ es falso. Usted puede encontrar algunos discusión en el artículo de la Wikipedia sobre este Principio de la Explosión.

Answer 4

En la mayoría de las lógicas formales, las reglas del sistema de la fuerza el principio de explosión (como se ha señalado por Bill Dubuque). Sin embargo, no son interesantes de la lógica, donde las contradicciones no necesariamente se propagan como este. Este tipo de lógica se llama paraconsistent lógica.

Su falta de intuición acerca de esta cuestión es tal vez porque la gente generalmente son capaces de lidiar correctamente con la contradicción. En contraste, la lógica clásica define la contradicción: esto hace que el sistema deductivo mucho más ordenado, pero se hace más difícil el uso de la lógica para modelar situaciones del mundo real.

Answer 5

En basic frase lógica: hay una frase que $P$ tal que $P$ implica $S$ $P$ implica $\lnot S$. A continuación, empezar a asumir ningún tipo de instrucción $\lnot Q$ en su sistema. A continuación, introducir la oración $P$, a partir de que $S$ $\lnot S$ seguir. Luego de la asunción de $Q$ lleva a la conclusión de $S \land \lnot S$, por la reducción, $\lnot Q$ sigue. Usted puede hacer esto para cualquier frase, $Q$ en su sistema.