Juegos innumerables en los modelos contables de ZFC

Question

Si asumimos ZFC para ser coherente tenemos, por el Löwenheim-Skolem teorema, la existencia de un modelo contable $\mathcal{U}_0$ de ZFC.

En $\mathcal{U}_0$ hay un infinito número ordinal, que es un no-vacío límite ordinal. Llame a la más pequeña $\omega$. También podemos construir el cardenal $2^\omega := \mathrm{card}(\wp (\omega))$, ya que la existencia de el juego de poder es dado por los axiomas.

Sin embargo, el último es incontable, por lo tanto es un subconjunto de a $\mathcal{U}_0$, que es incontable; esto parece ser una contradicción.

Sospecho que esta "contradicción" puede ser resuelto mediante la distinción entre el infinito entre los modelos de ZFC, pero no sé cómo hacerlo.

Así que mi pregunta es: ¿Cómo puedo resolver esto?

Gracias!

Answer 1

La contradicción está dentro de la definición de "contable". Un sistema es contable si existe un surjection de $\mathbb{N}$ a nuestro conjunto. La función que haría nuestro interior-el-modelo de sistema contable no existe dentro del modelo, así que dentro del modelo, el conjunto es incontable.

Answer 2

El problema no es que el $2^\omega$ es incontable. Es que el conjunto $\{A\mid\mathcal U_0\models A\subseteq\omega\}$ es contable. El hecho de que $\mathcal U_0$ es un modelo de $\sf ZFC$ significa que en $\mathcal U_0$ no es un objeto que representa este conjunto; pero también que no hay bijection entre el objeto $\mathcal U_0$ "piensa" es $\omega$, y el objeto que representa el conjunto anterior.

Por lo $\mathcal U_0$ "piensa" no hay bijection entre un objeto y $\omega$, que es exactamente la definición de $\mathcal U_0$ "piensa" que algún objeto es incontable.

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A la inversa cosa que también es posible, si hay un modelo de $\sf ZFC$, entonces hay un $\mathcal U_1$ de manera tal que el conjunto $\{A\mid\mathcal U_1\models A\text{ is a finite ordinal}\}$ es incontable. Por lo $\omega$, o el conjunto de $\mathcal U_1$ "piensa" es $\omega$—el epítome de la countability—es, de hecho, innumerables!