Supongamos que $\lim_{x\to \infty} f'(x) = a$. Es cierto que $\lim_{x\to \infty} {f(x)\over x} = a$

Question

Supongamos que $\lim_{x\to \infty} f'(x) = a$. Es cierto que $\lim_{x\to \infty} {f(x)\over x} = a$

¿Si es así, puede usted demostrarlo? ¡Gracias!

Answer 1

En el caso de la regla de L'Hopital no se permite:

Que $\epsilon > 0$, entonces existen larg suficiente $M >0 $ tal que $ a-\epsilon \leq f'(x) \leq a+ \epsilon $, para todos los $ M\leq x $. Ahora aplicar el teorema del valor medio $f$ $[M , x ]$ entonces existen $y_x \in [M, x]$ tal que % $ $$ a- \epsilon \leq f'(y_x) = \frac{f(x) - f(M)}{ x - M} \leq a+ \epsilon $

Ahora dejar $x \to + \infty$ obtenemos $$ a - \epsilon \leq \limsup_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{ x} \leq a+ \epsilon $$ for all $\epsilon > 0 $ which implies $ \limsup_{x \to + \infty} \frac{f(x)} {x} = a $, similarly $ \liminf_{x \to + \infty} \frac{f(x)} {x} = a$

Answer 2

Supongamos $f'(x)\rightarrow0$$x\rightarrow\infty$. Entonces, hay un $x_\epsilon$, de modo que $|f'(x)|<\epsilon$$x>x_\epsilon.$, Se puede estimar $$|f(x)|\le|f(x_{\epsilon/2})|+|f(x)-f(x_{\epsilon/2})|=|f(x_{\epsilon/2})|+|(x-x_{\epsilon/2})f'(\xi)|$$ with some $\xi\in[x_{\epsilon/2},x]$ (mean value theorem), so $|f'(\xi)|<\epsilon/2.$ The last summand is $<x\,\epsilon/2$, so $$|f(x)/x|<\frac{|f(x_{\epsilon/2})|}{x}+\epsilon/2<\epsilon$$ for $x>2\,\frac{|f(x_{\epsilon/2})|}{\epsilon}.$
Para el caso general, considere la posibilidad de $f(x)-ax$ en lugar de $f(x).$
Para explicar los downvotes: la respuesta original incluido innecesariamente la maquinaria pesada, el razonamiento sólo se justifica con Lebesgue integrales y continuidad absoluta, siendo excesivo para un relativamente simple declaración.

Answer 3

SUGERENCIA

Dejaron asumen $a \gt 0$. Entonces, debido a que $\lim_{x\to \infty} f'(x) = a \gt 0$ allí es $M \gt 0$ tal que $f'(x) \gt 0$ % todos $x \ge M$. Por lo tanto $f$ es estrictamente creciente en $[M, +\infty)$ y sin límites ($\lim_{x\to \infty} f'(x) =0$). Sigue que $\lim_{x\to \infty} f(x) = +\infty$ y podemos aplicar a L'Hospital a $\lim_{x\to \infty} {f(x)\over x}$

Ahora, supongamos que $a=0$. Que $g(x) = f(x) + x$. Entonces $\lim_{x\to \infty} g'(x)=1$ % por lo tanto, $\lim_{x\to \infty} {g(x)\over x}=1$y desde aquí $\lim_{x\to \infty} {f(x)\over x}=0$