Esta discusión se refiere a Teorema III-1.4 en C. H. Edwards, Jr Avanzadas de Cálculo de Varias Variables.
Estoy tratando de entender por qué el barrio se describe en la prueba del teorema de la función implícita es "seguro" para la convergencia de la asignación de contracción con la hipótesis inductiva para la secuencia :
$f_{n+1}[x]=f_{n}[x]-\frac{G[x,f_{n}[x]]}{D_{2}G[a,b]}$, $f_{0}[x]=b$.
El barrio está dada de la siguiente manera:
$\varepsilon\ge\lvert x-a\rvert\bigwedge\varepsilon\ge\lvert y-b\rvert\implies\lvert D_{2}G[x,y]-D_{2}G[a,b]\rvert\le\frac{1}{2}\lvert D_{2}G[a,b]\rvert$
$\varepsilon>\delta\ge\lvert x-a\rvert\implies\lvert G[x,b]\rvert\le\frac{1}{2}\varepsilon\lvert D_{2}G[a,b]\rvert$
El gráfico muestra la traza sobre la superficie de la $\{x,y,G[x,y]\}$ de la
plaza de $[a-\varepsilon,a+\varepsilon]\times[b-\varepsilon,b+\varepsilon]$
en verde.
El mayor $\delta$ restricción se indica en magenta, como es el la traza de la línea de $y=b$.
La traza de $x=a$ azul.
El blanco ángulo representa la proyección del punto de $\{a,b+\frac{\varepsilon}{2},\frac{\varepsilon}{2}D_{2}G[a,b]\}$.
$\frac{\varepsilon}{2}D_{2}G[a,b]$ también da la altura de la parte superior plano.
La solución real de la curva de $\{x,f[x],0\}$ es la intersección de la plano inferior y la superficie de la $\{x,y,G[x,y]\}$.
El rojo paralelogramo representa la condición de $G[a,y]=2(y-b)D_{2}G[a,y]$ lo que lleva a un bucle infinito. La elección de $\varepsilon$ evita que eso suceda en la curva azul. Esto se explica en mi respuesta a una pregunta anterior: Barrios necesaria para la convergencia de una secuencia.
Lo que estoy tratando de determinar es la razón por la que el rectángulo $[a-\delta,a+\delta]\times[b-\varepsilon,b+\varepsilon]$ es seguro para la convergencia de todas las $x\in[a-\delta,a+\delta]$. En otras palabras, ¿cómo se evita la condición de bucle infinito.
Un segundo diagrama muestra una simplificación de la representación del problema, utilizando una $G[x,y]$.
Editar para agregar: me olvidó mencionar un potencial significativo afirmación con respecto a la segunda imagen. El rectángulo en el que la imagen fue elegido de manera que la traza de la línea de segmento de $G[{c_1,d_1},{c_2,d_1}]$ está completamente por debajo del plano $z=0$, e $G[{c_1,d_2},{c_2,d_2}]$ está completamente por encima de la superficie de $z=0$. $D_2[x,y]>0$ tiene en todas partes en el rectángulo $[c_1,c_2]\times[d_1,d_2]$.
El objetivo es mostrar que el $f_{n+1}[x_*]=f_{n}[x_*]-\frac{G[x_*,f_{n}[x_*]]}{D_{2}G[a,b]}$ converge a un punto de la curva solución para todos los $x_*$ en un barrio dentro del rectángulo $[c_1,c_2]\times[d_1,d_2]$. El barrio descritos anteriormente se encuentran dentro de ese rectángulo.
Editar para agregar: Editar para modificar: observo que las porciones de la curva de color verde, con una constante $x$ nunca cruzan el plano de $z=0$ en el vecindario, por lo que es el derecho a excluir de ellos. A pesar de que el magenta curvas de hacer cruzan la solución de la curva, que no es una garantía de que lo harían con diferentes $G[x,y]$.
Editar para añadir: yo también tenga en cuenta que las hipótesis del teorema de sólo estipulan $G$$\mathscr{C}^1$. Que hace hablar acerca de los puntos de inflexión difícil. Pero parecen relevantes.
Parece apropiado para examinar lo que sucede en las condiciones extremas tales como:
$D_2G[x_*,y]=\frac{1}{2}D_2G[a,b]$,
$D_2G[x_*,y]=\frac{3}{2}D_2G[a,b]$
y
$\lvert D_{2}G[x,y]-D_{2}G[a,b]\rvert=\frac{1}{2}\lvert D_{2}G[a,b]\rvert$
Me he quitado mis propias especulaciones acerca de esas condiciones, porque creo que son demasiado restrictivas (IOW, malo).
Editar para agregar: Otra observación que parece importante es que todas las secuencias comienzan con la base del estado de $f_0[x]=b$. Estoy bastante seguro de que significa que todos los subsiguientes $f_n[x]$ va a estar en el mismo lado del plano de $y=b$$f_1[x]$.
Por desgracia no tengo un buen vocabulario exacto, ni la teoría de este dominio del problema. IOW, estoy mano saludando. Todo lo que estoy buscando en este momento es un intuitivamente satisfactoria explicación geométrica.
Editar para agregar: Un tercer gráfico muestra una vista lateral " de la situación, con la $x$ dimensión suprimida. Al colapsar el problema a la consideración de una familia de curvas en dos dimensiones que se ajustan a las condiciones establecidas, el problema se puede reducir a uno de los de análisis real.
Las líneas amarillas representan el rango de temperatura de pendientes para cualquier curva en el barrio, determinado por $\varepsilon\ge\lvert x-a\rvert\bigwedge\varepsilon\ge\lvert y-b\rvert\implies\lvert D_{2}G[x,y]-D_{2}G[a,b]\rvert\le\frac{1}{2}\lvert D_{2}G[a,b]\rvert$
El azul de la curva y la tangente de la línea de representar a un estado seguro. El rojo paralelogramo y acorde representar un bucle estado y de la pendiente de dos veces el bucle de la tangente, respectivamente. El verde de las líneas verticales representan el $y=\pm\varepsilon$. La vertical de la línea magenta segmento representa la restricción:
$\varepsilon>\delta\ge\lvert x-a\rvert\implies\lvert G[x,b]\rvert\le\frac{1}{2}\varepsilon\lvert D_{2}G[a,b]\rvert$.
Es decir, (creo) cada 2 dimensiones de la proyección de una curva debe intersectar la línea magenta segmento. Además, la base de la duración de cada secuencia es $f_0[x]=b$. La primera iteración es por lo tanto: $f_{1}[x]=b-\frac{G[x,b]}{D_{2}G[a,b]}$.
