Conjeturas sobre números primos

Question

Conjetura:

Para cada uno de los prime $p$ hay un número infinito de números primos $q$ tal que $p+q$ es un cuadrado perfecto.

He hecho un montón de pruebas utilizando Bigz y creo que es posible demostrar.

---

Me cambio de posible demostrar que no es posible refutar.
Definir para todos los números primos $q$, $w_q(n)=|\{p\in\mathbb P|p<n\wedge \exists k\in\mathbb N:p+q=k^2\}|$.
Luego he observado que parece que para todos los números primos $q$ existe un número natural $N$ $\alpha\in\mathbb R_+$ tal que $m>N$ implica que el $w_q(10^m)>\alpha2^m$. Esto significaría que la conjetura y es tal vez posible refutar.

Answer 1

Esto implicaría que cada % primer $p$, hay infinitamente muchos números primos de la forma $n^2-p$ que es un problema bien conocido (abierto).
Es una conjetura conocida que si $m$ no es un cuadrado perfecto, entonces hay infinitamente muchos números primos en $n^2-m$, $n\in \mathbb{N}$ % sin decir nada si $m$ es primo.

No hay que esperar mucho.

Answer 2

Esta no es una respuesta (o tal vez, si, poco más se puede decir), pero es demasiado largo para un comentario.

Por lo que yo sé:

El teorema de Dirichlet implica que la secuencia de $\{an-p\}_n$ tiene un número infinito de números primos si $a>0$ y no es un múltiplo de a $p$. Su pregunta cambios$an$$n^2$. Esto parece mucho más difícil. El teorema de Dirichlet de la prueba se basa en el hecho de que $$\sum_{an-p\text { prime}}\frac1{an-p}$$ diverges. But with $n^2$ la serie converge, así que no podemos decir (basado sólo en este) si la suma ha hecho infinidad de términos.

Me temo que sería muy difícil probar que, para cada prime $p$, la secuencia de $\{p+q\}_{q\text{ prime}}$ tiene al menos una sola plaza.

Como un ejemplo, vea esto.