He solucionado el siguiente problema y dar el contorno de mi solución. Tengo la curiosidad de saber si un menor y la solución más elegante que existe.
Problema
Deje $a,b,c,d,e \in \mathbb{N}$ tal que $25 | (a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^5)$. Demostrar que $5 | abcde$.
Solución De Contorno
El uso de contradicción.
$5 \nmid abcde \implies 5 \nmid a,b,c,d,e$.
Si $n = 5q + r$$n^5 = 25k + r^5$, lo que puede ser demostrado por la Expansión Binomial. Por lo tanto $n \equiv r (mod \; 5) \implies n^5 \equiv r^5 (mod \; 25)$.
Ahora posibles valores de $r$$1,2,3,4$. Por tanto, los posibles valores de $r^5 (mod \; 25)$$1,7,-7,-1$. (Suponemos que el conjunto de restos modulo 25 $\{-12, -11, \dots, -1, 0, 1, \dots, 11, 12 \}$). Por lo tanto $a^5, b^5, c^5, d^5, e^5 \equiv 1,7,-7,-1 (mod \; 25)$ en un cierto orden.
Luego pasé gran parte de mi solución demostrando que $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0 (mod \; 25)$ no tiene soluciones si $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \in \{1, 7, -7, -1 \}$. Esta parte de la prueba era esencialmente un ataque de fuerza bruta, y no estoy plenamente satisfecho con ella.
Pregunta
Tengo curiosidad por saber si esta última parte tiene una menor/solución más elegante. También, yo estaría interesado en cualquier otra solución general.
Gracias!!
