Una forma de resolver la brecha entre los números primos

Question

Hace tiempo encontré esta suma de números primos convergentes(*)

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{p(k+1)-2p(k+2)+p(k+3)}{p(k)-p(k+1)+p(k+2)}\ \approx \frac{5}{7}\zeta(3)^{-2} $$ donde:

$\zeta(s)$ es la función zeta de Riemann

$p(n)$ es el $n^{th}$ número primo

Trabajando un poco en eso lo encontré: $$\sum_{k=1}^n \frac{p(k+1)-p(k+2)+p(k+3)-p(k+4)+p(k+5)}{p(k)-p(k+1)+p(k+2)-p(k+3)+p(k+5)}\ \approx n $$

esto significa que $$F(k)=\frac{p(k+1)-p(k+2)+p(k+3)-p(k+4)+p(k+5)}{p(k)-p(k+1)+p(k+2)-p(k+3)+p(k+5)}\approx 1$$

$F(k):$

$F(k)=1 \pm \varepsilon_{n}$

$p(k+1)-p(k+2)+p(k+3)-p(k+4)+p(k+5)=p(k) \pm \varepsilon_{n}p(k)-p(k+1)\pm \varepsilon_{n}p(k+1)+p(k+2)\pm \varepsilon_{n}p(k+2)-p(k+3)\pm \varepsilon_{n}p(k+3)+p(k+5)\pm \varepsilon_{n}p(k+5).$

$E_k=\pm\varepsilon_n(p(k)+p(k+1)+p(k+2)+p(k+3)+p(k+5))$

$ \ $

$$p(k+4)=2p(k+3)-2p(k+2)+2p(k+1)-p(k)+E_{k}$$

$E_{k}:$

De esta manera se puede buscar el siguiente número primo teniendo en cuenta el error $E_{k}$ .

¿Cómo puedo calcular el rango de $E_{k}$ ?

No sé si esta forma ya ha sido utilizada por alguien, tuve el gusto de compartirla porque por mi falta de conocimientos matemáticos no sabría cómo seguir

(*) ¿Converge esta suma de números primos?

Answer 1

Lamentablemente, esta respuesta trata más de aproximaciones que de límites, pero debería tener mucha información útil. Utilizaré dos aproximaciones a lo largo de esta respuesta $$\begin{align}p(k)&\approx k\ln k&\text{(Prime Number Theorem)}\\ \ln(k+1)-\ln k&\approx\frac1k&\text{(Approximation from Derivative)} \end{align}$$ Más concretamente, $$\frac1{k+1}<\ln(k+1)-\ln k<\frac1k$$

$$F(k)=\frac{p(k+1)-p(k+2)+p(k+3)-p(k+4)+p(k+5)}{p(k)-p(k+1)+p(k+2)-p(k+3)+p(k+5)}\approx 1$$ Ahora, me ocuparé del numerador de $F(x)$ primero. A veces, esto puede ser difícil de seguir debido a la gran cantidad de términos, por lo que utilizaré colores para diferenciarlos. $$N=\color{red}{p(k+1)}-\color{orange}{p(k+2)}+\color{green}{p(k+3)}-\color{blue}{p(k+4)}+\color{purple}{p(k+5)}\approx \color{red}{(k+1)\ln(k+1)}-\color{orange}{(k+2)\ln(k+2)}+\color{green}{(k+3)\ln(k+3)}-\color{blue}{(k+4)\ln(k+4)}+\color{purple}{(k+5)\ln(k+5)}$$ Reagrupando los términos se obtiene $$k\color{red}(\ln(k+1)\color{blue}{-\ln(k+2)+\ln(k+3)}\color{green}{-\ln(k+4)+\ln(k+5)}\color{red})+\ln(k+1)-2\ln(k+2)+3\ln(k+3)-4\ln(k+4)+5\ln(k+5)$$ $$k\ln (k+1)+k\left(\color{blue}{\frac1{k+2}}+\color{green}{\frac1{k+4}}\right)-\frac1{k+1}+\frac1{k+2}-\frac2{k+3}+\frac2{k+4}+3\ln(k+5)$$ Los cinco términos de la derecha pueden ser difíciles de entender, pero se encuentran mediante el mismo proceso con el que encontramos los términos azules y verdes, utilizando la segunda aproximación. Una mayor simplificación algebraica da como resultado $$k\ln(k+1)+3\ln(k+5)+\frac{k+1}{k+2}+\frac{k+2}{k+4}-\frac1{k+1}-\frac2{k+3}$$ Ahora, para el denominador, utilizo exactamente el mismo proceso, así que no desperdiciaré espacio repasándolo. $$D=p(k)-p(k+1)+p(k+2)-p(k+3)+p(k+5)\approx k\ln k+3\ln(k+5)+\frac{k+2}{k+4}+\frac{k+2}{k+3}-\frac1{k+2}+1$$ La aproximación para $p(k+4)$ es $$p(k+4)\approx k\ln(k+1)+3+2\ln(k+3)+2\ln(k+1)+E_k$$ Ahora, sabemos $E_k=\varepsilon_n\cdot D$ pero también sabemos que $\frac ND=1\pm\varepsilon_n$ , lo que significa que $N=D\pm\varepsilon_n\cdot D\implies|\varepsilon_n\cdot D|=|N-D|$ Por el mismo proceso que utilizamos para encontrar el numerador, $$|\varepsilon_n\cdot D|=|N-D|=\frac1{k+1}+\frac1{k+3}$$ Ahora podemos escribir la aproximación como $$p(k+4)\approx k\ln(k+1)+3+2\ln(k+3)+2\ln(k+1)\pm\left(\frac1{k+1}+\frac1{k+3}\right)$$ Ahora, sustituyendo $k$ con $k-3$ para obtener una aproximación para $p(k+1)$ rendimientos. $$p(k+1)\approx k\ln(k-2)+3+2\ln k-\ln(k-2)\pm\left(\frac1{k-2}+\frac1{k}\right)$$