Suma lo siguiente: \begin{align} S &= \frac{1}{9} + \frac{1}{99} + \frac{1}{999} + \frac{1}{9999} + \cdots\\[0.1in] &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{10}^n - 1} \end{align}
Es bastante sencillo demostrar que esta suma converge: \begin{align} S &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{10}^n - 1}\\ &= \frac{1}{9} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{10}^n - 1}\\ &< \frac{1}{9} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{10}^n - 10}\\ &= \frac{1}{9} + \frac{1}{10}\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{10}^{n-1} - 1}\\ &= \frac{1}{9} + \frac{1}{10}S\, , \end{align} que conduce a $S < 10/81 = 0.\overline{123456790}$ .
Numéricamente (Mathematica), encontramos que esta suma es aproximadamente $S \approx 0.122324$ .
Esta suma también puede escribirse como \begin{align} S &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{10}^n - 1}\\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1/{10}^n}{1 - 1/{10}^n}\\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{{10}^{nm}} \end{align}
(La última expresión anterior es en sí misma bastante divertida, ya que el coeficiente de $1/{10}^k$ es el número de formas distintas de escribir $k$ como producto de dos enteros positivos).
Analíticamente Mathematica evalúa esta suma como \begin{equation} S = \frac{\ln(10/9) - \psi_{1/10}(1)}{\ln(10)}\, , \end{equation} donde $\psi_q(z)$ es el Función Q-Polygamma . Esto es no realmente una solución bonita, ordenada y de forma cerrada. Ahora, puedo acepte que esta suma puede no tener una suma tan bonita y ordenada, pero algo en ella siente como si debiera tener uno. (¡No riguroso, lo sé!) Además, soy consciente de que Mathematica no es en absoluto infalible, especialmente cuando se trata de simplificar ciertas expresiones.
Así que me pregunto si existe una solución más ordenada.
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Wolfram devuelve el mismo resultado. Quizás si encuentras una forma cerrada para $\psi_{\frac{1}{10}}(1)$ Si eso es posible, entonces puedes tener tu bonita solución de forma cerrada. Pero dudo que esa forma cerrada exista para $\psi_{\frac{1}{10}}(1)$ .
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Si escribes expansiones decimales de los términos (p. ej, $\frac19 = .1111111...$ o $\frac1{99} = .010101...$ ), se puede ver que la suma es igual a $\sum_1^\infty \frac{d(n)}{10^n}$ donde $d(n)$ es la función de recuento de divisores.
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@paw88789 Eso ya lo dice el OP en la pregunta.
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Como era previsible, este tipo de series tiene un nombre y esto es todo lo que se puede decir. (¿Por qué la avalancha de upvotes?)
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El número más pequeño con más de $9$ divisores es $48=2^4\cdot3^1$ por lo que los primeros 46 dígitos de la suma son simplemente el número de divisores de la posición del dígito.