Pruebalo $\sum_{n\leq x}d^2(n)=O(x\log^3 x)$

Question

Demostrar que $$\sum_{n\leq x}d^2(n)=O(x\log^3 x),\tag1$ $ $d(n)$ Dónde está la función divisor: $d(n)=\sigma_0(n)=\sum_{a\mid n}1.$

¿Puedo probar que $$\sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O(\sqrt x),\tag2$$ but how to prove $ (1) $?

Answer 1

Aquí es un argumento diferente. Tenga en cuenta que $d(ab)\leq d(a)d(b)$ % enteros todos $a$y $b$. Así tenemos

%#% $ de #% donde la desigualdad final utilicé su límite en $$\sum_{n\leq x} d(n)^2 = \sum_{ab\leq x} d(ab) \leq \sum_{ab\leq x} d(a)d(b) = \sum_{a\leq x} d(a) \sum_{b\leq x/a} d(b) \leq 2\sum_{a\leq x} d(a) {x\over a} \log x,$. Ahora Nota $\sum_{n\leq x} d(n)$ $

Answer 2

Puedo darle un límite un poco más fácil. Nota que, $$\sum_{n=1}^\infty\frac{d^2(n)}{n^s}=\prod_p\sum_{r=0}^\infty\frac{(r+1)^2}{p^{rs}}=\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^{2s}}\right)\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-4}=\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}.$ $ segundo la igualdad proviene de la identidad, $$\sum_{n=1}^\infty(n+1)^2x^n=\frac{(1-x^2)}{(1-x)^4}.$ $ ahora usando la conocida fórmula para la suma de los coeficientes de una serie de Dirichlet, $$D(x):=\sum_{n\le x}d^2(n)={1\over 2\pi i}\int_{(c)}\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}x^s\frac{\,ds}{s},$$ where $ (c) = \ {c + it: t\in \mathbb{R},c > 1 \ \text{fixed}\}.$ así, $$D(x)={1\over 2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\zeta^4(c+it)}{\zeta(2c+2it)}\frac{x^{c+it}}{c+it}\,dt\le\frac{x^c}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left|{\frac{\zeta^4(c+it)}{\zeta(2c+2it)}\frac{x^{it}}{c+it}}\right|\,dt=O(x^c)$$ for any $c > 1$

Ahora para su destino, tenga en cuenta que $$\sum_{n=1}^\infty\frac{d_3(n)}{n^s}\sum_{n=1}^\infty\frac{|\mu(n)|}{n^s}=\zeta^3(s)\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{d^2(n)}{n^s},$$ where $ d_3 (n) $ is number of ways to write $n $ as product of $3$ números. So,$$d^2(n)=\sum_{r|n}d_3(r)\left|\mu\left( {n\over r}\right)\right|.$$ Hence, $$D(x):=\sum_{n\le x}d^2(n)=\sum_{n\le x}\sum_{r|n}d_3(r)\left|\mu\left( {n\over r}\right)\right|$$ $$=\sum_{ab\le x}d_3(a)|\mu(b)|\le x\sum_{a\le x}{d_3(a)\over a}=O(x\log^3x)$$.

Aquí, he utilizado %#% $ #% que sería fácil de demostrar.