Una equivalencia de homotopía entre espacios $B\Gamma$ y $K\Gamma$ para un gráfico de grupos en un gráfico $\Gamma$

Question

En Hatcher "Topología Algebraica" (pág. 92), el espacio de $B\Gamma$ (para un gráfico de los grupos en un gráfico de $\Gamma$) se define como una colección de espacios de $BG_v$ para cada vértice $v$, que están conectados por cierto la asignación de los cilindros correspondientes a la orilla morfismos. Si reemplazamos $BG_v$ con $K(G_v,1)$ espacio en la construcción, llamada el espacio resultante $K\Gamma$. A continuación, hay un comentario:

"Dejamos al lector a comprobar que el espacio resultante $K\Gamma$ es homotopy equivalente al espacio de $B\Gamma$ construido de arriba".

Mi pregunta es: ¿cómo se puede demostrar esto?

Lo que tengo: Me parece que no puede extender la homotopy equivalencias $BG_v\to K(G_v,1)$ a un homotopy equivalencia de toda la red de la asignación de los cilindros. Supongo que es suficiente como para hacerlo para el caso de que sólo uno de los bordes como las dos homotopies que rigen la homotopy de equivalencia son constantes en ambos lados de los dos asignación de los cilindros.

Dado un grupo de morfismos $G_v\to G_w$, puedo ver que el siguiente diagrama conmuta hasta homotopy:

$BG_v\longrightarrow BG_w$

$\downarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \downarrow$

$K(G_v,1)\to K(G_w,1)$

desde las dos composiciones de mapas de inducir el mismo mapa de $\pi_1(BG_v)\to\pi_1(K(G_w,1))$. (Véase la Proposición 1B.9 en la página 90). Pero no sé a dónde ir desde allí.

Actualización: Lo que estoy buscando es Hatcher la intención de solución, lo que probablemente implica explícitamente contruir un homotopy de equivalencia.

La cuestión se reduce a esto. Supongamos que tenemos un diagrama conmutativo

$\;\;\;\;\;f_1$

$A\longrightarrow B$

$\downarrow f\;\;\;\;\;\;\;\;\downarrow g$

$C\longrightarrow D$

$\;\;\;\;\;f_2$

donde $f$ $g$ son homotopy equivalencias, $f^{-1}$ $g^{-1}$ son sus homotopy inversos. Supongamos también que el diagrama es homotopy conmutativa y así es el diagrama con el homotopy inversos. Deje $M_1$ ser la asignación de cilindro para $f_1$ $M_2$ ser la asignación de cilindro para $f_2$.

Supongamos que tenemos la siguiente homotopies:

$H_1:A\times I\to D$, un homotopy $f_2 f \simeq g f_1$ $H_2:C\times I\to B$, un homotopy $f_1 f^{-1} \simeq g^{-1}f_2$ $H_f:A\times I\to A$, un homotopy $f^{-1}f\simeq 1_A$ $H_g:B\times I\to B$, un homotopy $g^{-1}g\simeq 1_B$

Definir $F:M_1\to M_2$ ser: $(f(a),2t)$ $(a,t)\in A\times [0,\frac{1}{2}]$ $H_1(a,2t-1)$ $(a,t)\in A\times [\frac{1}{2}.1]$ $g(b)$ $b\in B$

Definir $G:M_2\to M_1$ ser:

$(f^{-1}(c),2t)$ $(c,t)\in C\times [0,\frac{1}{2}]$ $H_2(c,2t-1)$ $(c,t)\in C\times [\frac{1}{2},1]$ $g^{-1}(d)$ $d\in D$

Queremos mostrar que $GF\simeq 1$ utilizando un homotopy que se extiende tanto en $H_f$ $H_g$

Mi intento:

Computación $GF$ le da:

$(f^{-1}f(a),4t)$ $(a,t)\in A\times[0,\frac{1}{4}]$ $H_2(f(a),4t-1)$ $(a,t)\in A\times[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$ $g^{-1}(H_1(a,2t-1))$ $(a,t)\in A\times[\frac{1}{2},1]$ $g^{-1}g(b)$ $b\in B$

Que en parte puede definir $H:M_1\times I\to M_1$ como sigue:

$(H_f(a,s),4(1-s)t+st)$ $(a,t,s)\in A\times [0,\frac{1}{4}]\times I$ Para $(a,t,s)\in A\times [\frac{1}{4},\frac{1}{2}]\times I$ como sigue: $H_2(f(a), \frac{1-4t}{2t-\frac{1}{2}}s + 4t-1)$ $s\leq 2t-\frac{1}{2}$ $(H_f(a, \frac{s-(2t-\frac{1}{2})}{1-(2t-\frac{1}{2})}), t + \frac{(t-1)s-(t-1)}{1-(2t-\frac{1}{2})})$ $s\geq 2t-\frac{1}{2}$

Así que lo que necesito es una función de $H:A\times[\frac{1}{2},1]\times I\to M_1$ que satisface las siguientes condiciones de contorno:

De acuerdo con el ya definido $H$ $A\times\{\frac{1}{2}\}\times I$ Es igual a $g^{-1}(H_1(a,2t-1))$ $A\times[\frac{1}{2},1]\times\{0\}$ Es igual a $(a,t)$ $A\times[\frac{1}{2},1]\times\{1\}$ Es igual a $H_g(f_1(a),s)$ $A\times \{1\}\times I$

Answer 1

Usted está en el camino correcto, creo.

Quiere mostrar que un homotopy conmutativo el diagrama $$ \begin{array}{ccc} X_1&\to&Y_1\\ \downarrow\psi & &\downarrow\phi\\ X_2&\to&Y_2. \end{array} $$ se extiende a un (estrictamente) conmutativo el diagrama $$ \begin{array}{ccccc} X_1&\to&\operatorname{Cyl}(f_1)&\gets&Y_1\\ \downarrow& &\downarrow\pi&&\downarrow\\ X_2&\to&\operatorname{Cyl}(f_2)&\gets&Y_2. \end{array} $$ Deje $F\colon X_1\times I\to Y_2$ ser el homotopy desde el primer diagrama. Simplemente defina $\pi$

• $\psi\times(t\mapsto 2t)$ $X_1\times[0;1/2]\subset\operatorname{Cyl}(f_1)$ ;
• $F$ $X_1\times [1/2;1)\subset\operatorname{Cyl}(f_1)$;
• $\phi$ $Y_1\subset\operatorname{Cyl}(f_1)$.

La aplicación de este lema a cada borde de los rendimientos de un mapa de $f\colon B\Gamma\to K\Gamma$.

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Vamos a demostrar que $f$, de hecho es un homotopy de equivalencia. Demostrando homotopy equivalencia directa es generalmente difícil, así que vamos a aplicar métodos algebraicos en su lugar.

Denotar por $V_1\subset B\Gamma$ (resp. $V_2\subset K\Gamma$ ) (discontinuo) de la unión de los espacios en los vértices. Observar que tanto en $B\Gamma/V_1$ $K\Gamma/V_2$ son de la misma homotopy tipo $$ E:=\bigcup_{\text{borde}\in\Gamma}\Sigma K(G_{\operatorname{fuente}(\text{borde})},1)\cong\Gamma\v\bigvee_{\text{borde}\in\Gamma}\Sigma K(G_{\operatorname{fuente}(\text{borde})},1). $$

Ahora imagina por un momento que los grupos de todos los espacios son abelian. Es suficiente para mostrar que el $f$ induce isomorfismo en la homología. Pero se sigue inmediatamente de la aplicación de la 5-lema a la homología de largo exacto de las secuencias de pares de $(B\Gamma,V_1)$$(K\Gamma,V_2)$: $$ \begin{array}{ccccccccc} H_{i+1}(E_1)&\to&H_i(V_1)&\to&H_i(B\Gamma)&\to&H_i(E_1)&\to&H_{i-1}(V_1)\\ \wr| & &\wr| & &\downarrow f_*& &\wr| & & \wr|\\ H_{i+1}(E_2)&\to&H_i(V_2)&\to&H_i(K\Gamma)&\to&H_i(E_2)&\to&H_{i-1}(V_2). \end{array} $$ Ahora nuestros espacios pueden tener no-trivial fundamentales de los grupos, sino de mostrar que $f$ induce isomorfismo en la homología es suficiente si uno utiliza homología con coeficientes en sistemas locales (oh, que uno necesita para mostrar primero de que los grupos son isomorfos - que se puede hacer por Seifert-van Kampen). Así que en realidad estamos hecho.

(La moral de la historia: la aplicación de 5-lema a la homología largo de la secuencia exacta permite probar cosas como "si $a_1\cong a_2$$b_1\cong b_2$, $a_1+b_1\cong a_2+b_2$" débil homotopy tipos, dado que hay un mapa de la inducción de la débil equivalencias.)