¿Cómo resolver este derivado de la prueba f?

Question

Cumple con una función $f$:

$$f''(x) + f'(x)g(x) - f(x) = 0$$ for some function $g $. Prove that if $f $ is $0 $ at two points, then $f $ is $0$ en el intervalo entre ellos.

¿Alguien puede verificar mi prueba?

Scratchwork:

Así que $I = [a, b]$ y $f(a) = f(b) = 0$. $g(x)$ es una función, no importa. Voy a utilizar la idea de criterio de la derivada segunda:

A prueba de

Supongamos que $f(x) > 0 \space \forall x \in (a, b)$

$$\because f(a) = f(b) = 0 \space \exists x_1 \in (a, b) \implies f'(x_1) = 0 \tag1$$

$$f''(x_1) + \overbrace{f'(x_1)g(x_1)}^{0} - f(x_1) = 0$$

$$ \therefore f''(x_1) = f(x_1) > 0$$

Necesito ayuda para llegar a una contradicción por favor??

Answer 1

Puesto que es continua en el compacto conjunto de $f$ alcanza su máximo en un $[a,b]$ $x_1\in[a,b]$. Asumimos que $f(x_1)>0$. $x_1\in(a,b)$ $x_1$ Es un máximo local, que implica $f'(x_1)=0$ y por lo tanto $f''(x_1)=f(x_1)>0$. Pero entonces $x_1$ es un mínimo (local), una contradicción. Así, $f(x_1)\leq0$ y $f(x)\leq0$ % todos $x\in[a,b]$. Ahora, repita la prueba con "mínimo" en vez de "máximo" para mostrar que $f(x)\geq0$ % todos $x\in[a,b]$.

Answer 2

La negación de la derecha es que $f(x)\ge0$ $(a,b)$ y existe un punto c | $f(c)>0$.

Tienes que $f''(x_1)\ge0$ (la función en ese punto es convexa) así que en ese punto que tienes una minima así que hay dos casos

1. $f(x_1)<0$ (obviamente contradicción)
2. $f(x_1)=0$ (es imposible porque esto implica que $f(x)=0$ $ \forall x \in (a,b) $)

Análogo para el caso de otros

Answer 3

Para hacer lo que escribiste más hermético:

A partir de tus suposiciones, tenemos que $f$ es continouous, por lo tanto hay $x_1,x_2\in[a,b]$, que $f(x_1)=\inf_{x\in[a,b]}f(x)$ y $f(x_2)=\sup_{x\in[a,b]}f(x)$. Si $x_1\in(a,b)$, entonces tiene un mínimo local, que es $f'(x_1)=0$ y $f''(x_1)\ge 0$. Entonces $$f(x_1)=f''(x_1)+f'(x_1)g(x_1)=f''(x_1)\ge 0.$ $ de curso también $f(x_1)\ge 0$ si $x_1\in\{a,b\}$, así definitivamente %#% $ de #% por el mismo argumento con $$\inf_{x\in[a,b]}f(x)\ge0.$, obtenemos $ $x_2$ por lo tanto para arbitrario $$\sup_{x\in[a,b]}f(x)\le0.$ % $ $x\in[a,b]$