¿Por qué siempre podemos sacar triángulos de la derecha para funciones trigonométricas inversas?

Question

En la trigonometría es una técnica básica para evaluar una expresión como $$\tan\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$ by thinking of $\arcsen\left(-\frac{4}{5}\right)$ as an angle, setting $\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) = \theta$, y el dibujo de un triángulo rectángulo para determinar la solución.

Mi pregunta es ¿por qué siempre nos dibuje un triángulo rectángulo para representar estas expresiones trigonométricas inversas? Me suele pensar en una expresión como $\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)$ "el ángulo cuyo seno es $-\frac{4}{5}$", pero lo que si este ángulo es mayor que $180$ grados? Lo que justifica el dibujo de este ángulo en un triángulo rectángulo si es mayor que la totalidad de la medida del ángulo del triángulo? Agradezco cualquier aclaración. Gracias.

Answer 1

Echa un vistazo a la gráfica de $\sin(x)$. No es uno a uno (una manera de decir es, ya que no pasan la Prueba de la Línea Horizontal, su "inversa" no pasar la Línea Vertical de la Prueba, por lo que su "inversa" no es una función). Así que restringir el dominio de $\sin(x)$ (y las otras funciones trigonométricas, también), nos deja incluso obtener seno inverso a ser una función.

Hacemos que al restringir el dominio de $\sin(x)$ a de$-\pi/2$$\pi/2$. Por qué ese intervalo? Tiene algo de sentido a recoger el "primero" de onda de una curva sinusoidal a ser el dominio restringido, por lo que podríamos elegir cualquiera de las $[-\pi/2, \pi/2]$ o $[\pi/2, 3\pi/2]$ y tipo de las que tiene más sentido para el centro alrededor de $0$. Así que los matemáticos del pasado definido arcsen como tal.

Así que cuando nos fijamos en $\arcsin(-4/5)$, queremos que el ángulo en el primer o cuarto cuadrante. Ya que estamos buscando para un ángulo de $\theta$ tal que $\sin(\theta)=-4/5$, queremos seno a ser negativa, lo que sucede en el cuarto cuadrante, y, a continuación, construimos nuestra derecha, triángulo, como nos acostumbra.