Límite de la función zeta de Riemann, ¿por qué es esta identidad trivial?

Question

Mathematica sabe:

$$n^k=\lim_{s\to 1} \, \frac{\zeta (s) \left(1-\frac{1}{\exp ^{s^{n^k}-1}(n)}\right)}{n}$$

Why is the above a trivial identity? What is it about the Zeta function that makes it obvious?

I know experimentally that one can test a zeta zero with the integral:

$$\int_0^{\infty } \frac{1}{\exp \left(x^{\frac{1}{\rho _1}}\right)+1} \, dx$$

que se asemeja a la expresión dentro del paréntesis en el límite un poco más.

Si alguno sabe como volver a escribir el látex del límite para hacerlo más legible, sienta libre de editar.

Como un programa de Mathematica este límite es:

Clear[s, n]
Limit[Zeta[s]*(1 - 1/Exp[n]^(s^n^k - 1))/n, s -> 1]

Answer 1

cancela el %#% $ de #% donde $$\tag11-\frac1{\exp(n)^{s^{n^k}-1}}=1-\exp(n(1-s^{n^k}))$, $1=\exp(n(1-1^{n^k}))$ $ es por definición el derivado de $$ \lim_{s\to 1}\frac1{s-1}\left(1-\frac1{\exp(n)^{s^{n^k}-1}}\right)$ $(1)$, que es $s=1$ $ ahora todo lo que necesitamos saber acerca de $$\left.\frac d{ds}\left(1-\exp(n(1-s^{n^k}))\right)\right|_{s=1}=\left.-n(-n^k)s^{n^k-1}\exp(n(1-s^{n^k}))\right|_{s=1} =n^{k+1}$ es que $\zeta$ todo muy bien.

Answer 2

Cambio de variables a $s=u+1$ y entonces se le pidió a probar: $$n^k=\lim_{u\to 0^{+}}\frac{\zeta(u+1)}{n}\left(1-e^{n(1-(u+1)^{n^k}})\right)$$ Tenga en cuenta que: $$1- \left( u+1 \right) ^{{n}^{k}}=-\sum _{q=1}^{\infty }{{n}^{k} \elegir q}{u}^{q}=-n^ku+... $$ y así: $$\lim_{u\to 0^{+}}e^{n(1-(u+1)^{n^k}})=\lim_{u\to 0^{+}}e^{-n^{k+1}u}=\lim_{u\to 0^{+}}(1-n^{k+1}u)$$

$$\lim_{u\to 0^{+}}\frac{\zeta(u+1)}{n}\left(1-e^{n(1-(u+1)^{n^k}})\right)=\lim_{u\to 0^{+}}\zeta(u+1)n^ku$$ Queda por demostrar:$$\lim_{u\to 0^{+}}\zeta(u+1)u=1$$ Para ello hemos prestado dos conocidos los resultados de análisis; la identidad funcional para la Riemann Zeta función: $$\zeta \left( u+1 \right) =2\,{\pi }^{u}\cos \left( 1/2\,\pi \,u \right) \Gamma \left( -u \right) \zeta \left( -u \right) {2}^{u} \etiqueta{1}$$ y: $$\lim_{u=0^{+}}\zeta(u)=\lim_{u=0^{-}}\zeta(u)=\zeta(0)=-1/2\tag{2}$$ donde $(2)$ sigue por la continuidad de $\zeta(u)$ lejos del único polo en $\zeta(1)$ y el valor límite se establece aquí. Multiplicando $(1)$ $u$ tenemos:

$$u\zeta \left( u+1 \right) =u2\,{\pi }^{u}\cos \left( 1/2\,\pi \,u \right) \Gamma \left( -u \right) \zeta \left( -u \right) {2}^{u}$$ que por $u\Gamma(-u)=-\Gamma(1-u)$ se convierte en: $$u\zeta \left( u+1 \right) =-2\,{\pi }^{u}\cos \left( 1/2\,\pi \,u \right) \Gamma \left( -u+1 \right) \zeta \left( -u \right) {2}^{u}$$ Entonces, por la continuidad de $\Gamma(u)$ sobre el positivo de reales y el hecho de que $\Gamma(1)=0!=1$ tenemos: $$\lim_{u=0^{+}}-2\,{\pi }^{u}\cos \left( 1/2\,\pi \,u \right) \Gamma \left( -u+1 \right) {2}^{u}=-2$$ que junto con $(2)$ demuestra el límite: $$\lim_{u=0^{+}}u\zeta \left( u+1 \right)=-2\lim_{u=0^{+}}\zeta(-u)=1$$