Encontrar un millar de números naturales tales que su suma es igual a su producto

Question

La cuestión es encontrar un millar de números naturales tales que su suma es igual a su producto. Este es mi enfoque :

He trabajado en esta cuestión para el menor de los casos :

\begin{align*} &2 \times 2 = 2 + 2\\ &2 \times 3 \times 1 = 2 + 3 + 1\\ &3 \times 3 \times 1 \times 1 \times 1 = 3 + 3 + 1 + 1 + 1\\ &7 \times 7 \times 1 \times 1 \times \dots\times 1 \text{ (35 times) } = 7 + 7 + 1 + 1 .... \text{ (35 times) } \end{align*}

Usando esta lógica, me parecía haber reducido el problema de la siguiente manera.

$a \times b \times 1 \times 1 \times 1 \times\dots\times 1 = a + b + 1 + 1 +...$

Esta igualdad se satisface siempre que $ ab = a + b + (1000-n)$ O $ abc\cdots n = a + b + \dots + n + ... + (1000 - n)$ En otras palabras, es necesario para la búsqueda de los n números tales que su producto es mayor por $1000-n$ que su suma. Esto permite que el resto de spots para ser llenado por $1$'s. Me siento como que estoy cerca de la respuesta. Por favor, dame algunas pistas, pero no se la respuesta exacta,

Tengo la respuesta gracias a su ayuda. Es $112 \times 10 \times 1 \times 1 \times 1 \times ...$ ($998$ veces)$ = 10 + 112 + 1 + 1 + 1 + ...$ ($998$ veces)

Esto es para el caso de dos variables. ¿Alguno de ustedes ha encontrado respuestas a más de dos variables ?

$abc...n = a + b + c + ... + n + (1000 - n)$

Answer 1

Hay un cartel de error en la ecuación; desea $$ a+b+998=ab $$ que se simplifica a $$ (a-1)(b-1) = 999 $$ a partir de la cual debe ser fácil de extraer varios entero de soluciones.

Answer 2

Tenemos una alternativa para llenar con?

Deje $N=1000$, luego \begin{align} \sum_{i=1}^N n_i &= \prod_{i=1}^N n_i \iff \\ N n_a &= n_g^N \end{align} donde $n_a$ es la media aritmética y $n_g$ la media geométrica de los números de $n_i$.

Los números en el lado izquierdo y derecho de la ecuación la deriva aparte muy rápido. Ya para $n_a = n_g = 2$ tendríamos $2000$ vs $2^{1000} \approx 10^{301}$.

Asumiendo $n_a \approx n_g$ calculamos: $$ N x = x^N \Rightarrow \\ N = x^{N-1} \Rightarrow \\ x = \sqrt[N-1]{N} $$ Para $N=1000$ esto da $x=\sqrt[999]{1000}=1.0069\dotso$.

Un estimado de la media no da mucho espacio para los números de $n_i > 1$. $$ 1.007 = \frac{1000+a}{1000} = 1 + a/1000 \Rightarrow \\ a = 7 $$ La difusión de un exceso de $7$ a más de un par de números es demasiado pesimista. $$ 1.007 = \sqrt[1000]{b} \Rightarrow \\ b \aprox 1070 $$ Que se ve mejor, el producto tiene que ser igual a una suma algo por encima de $1000$.

¿Alguno de ustedes ha encontrado respuestas a más de dos variables ?

Una solución con tres números diferentes de $1$ es $x=67$, $y=z=4$. Esto le da a $67+4+4+997=1072$. También se $67\times 4 \times 4 \times 1^{997}=1072$.