¿Cómo probar la función $y = \sin x$ es no una función cerrada?

Question

Me encontré con una pregunta:

Supongamos que $f(x) = \sin x$ es una función de $\mathbb R$ $[-1,1]$. ¿Cómo pruebo que la función $f(x) = \sin x$ no es una función cerrada?

Por función"cerrada", me refiero a una función tal que se cierra la imagen de cualquier conjunto cerrado.

Answer 1

Cerró la función es una función tal que la imagen de cada conjunto cerrado cerrado.

Es relativamente fácil ver que, por cualquier $\varepsilon>0$ cada $\varepsilon$discreto subconjunto de la recta real es cerrado. (Un subconjunto $A$ a de un espacio métrico $(X,d)$ se llama $\varepsilon$discreto si para cualesquiera dos puntos distintos $x,y\in A$ tenemos $d(x,y)\ge\varepsilon$. Para subconjuntos de la recta real, esta condición significa $|x-y|\ge\varepsilon$.)

Se puede encontrar una secuencia $(x_n)$ con las siguientes propiedades?

• $x_n\in(2n\pi,(2n+1)\pi)$ (lo que implica que $\{x_n; n\in\mathbb N\}$ $\varepsilon$discreto para cualquier subconjunto $\varepsilon<\pi$)
• $\lim\limits_{n\to\infty} \sin x_n =y$ pero $y\notin\{\sin x_n; n\in\mathbb N\}$

Si $(x_n)$ cumple con las propiedades antes mencionadas, a continuación, $A=\{x_n; n\in\mathbb N\}$ es un conjunto cerrado, pero la imagen de este conjunto no es cerrado.