Una suma directa libre de un módulo proyectivo

Question

Quiero demostrar que un módulo izquierdo $_RP$ es un generador de proyectivo si y sólo si no una suma directa de (copias de) $P$.

Mi intento es, en primer lugar, observar que $P$ es un generador si y solamente si para algún entero positivo $n$ y algunos % izquierdo es isomorfo a $R$ $X$-módulo $P^{(n)}$ tenemos $R⊕X$. Además, $P$ es un sumando directo de un # gratis $R$-módulo. De aquí en adelante estoy atrapado. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Reclamo: Si $P,Q$ son dos proyectiva generadores de $R\text{-Mod}$, entonces existen conjuntos de $I,J$ tal que $P^{(I)}\cong Q^{(J)}$

Prueba: puede utilizar el Eilenberg-Mazur Estafa aquí: Supongamos $P,Q$ son proyectivas de los generadores. Entonces, para comenzar, con el generador de propiedad de $P$, existe un surjection $P^{(I_0)}\twoheadrightarrow X_0:=Q$. Por projectivity de $Q$, este surjection divisiones, es decir, $P^{(I_0)}\cong X_0\oplus Y_0$ algunos $Y_0$. Como $P$ es proyectiva, por lo que es $Y_0$. Siguiente - esta vez usando el generador de propiedad de $Q$ -, nos encontraremos con un surjection $Q^{(J_0)}\twoheadrightarrow Y_0$, lo que, por projectivity de $Y_0$, se divide de nuevo, es decir,$Q^{(J_0)}\cong Y_0\oplus X_1$, $X_1$ proyectiva de nuevo desde $Q$ es proyectiva. Ahora continúe con este procedimiento, la producción de conjuntos de $I_n$ $J_n$ y isomorphisms $P^{(I_n)}\cong X_n\oplus Y_n$$Q^{(J_n)}\cong Y_n\oplus X_{n+1}$. A continuación, $$\bigoplus_n P^{(I_n)}\cong X_0\oplus\bigoplus_n Q^{(J_n)} = Q\oplus\bigoplus_n Q^{(J_n)}$$ mostrando que la adecuada directo de la suma de los poderes de $P$ $Q$ son isomorfos. $\quad\square$

Su estado sigue teniendo $P$ algunos proyectiva generador y $Q := R$.