Cómo encontrar el valor $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(C_{3k}^k)^{-1}$

Question

encontrar el valor %#% $ #%

y hace mucho tiempo, han de verlo y es fácil % $ $$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{C_{3k}^{k}}$

donde $$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{C_{2k}^{k}}$ $

Answer 1

Podemos escribir\begin{align} S=\sum_{k=1}^{\infty}{3k \choose k}^{-1}&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(2k+1)}{\Gamma(3k+1)}=\sum_{k=1}^{\infty}kB(k,2k+1)=\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}k\int_0^1x^{k-1}(1-x)^{2k}dx=\\ &=\int_{0}^1\frac{(1-x)^2dx}{\left[1-x(1-x)^2\right]^2}=\\ &=\int_{0}^1\frac{x^2dx}{\left(1-x^2+x^3\right)^2}. \end {Alinee el} el integrando en la última expresión es una función racional de $x$. Por lo tanto la primitiva puede calcularse utilizando métodos estándar en términos de funciones racionales y logaritmos y el resultado se expresará en términos de las raíces de la ecuación cúbica $x^3-x^2+1=0$.

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UPD: el valor real añadido: %#% $ de #% donde $$S=\frac{4}{23}-\frac{2}{23}\sum_{k=1}^3\frac{\left(x_k+3\right)\ln(1-x_k)}{3x_k^2-1},$ denotan tres soluciones de la ecuación cúbica $x_{1,2,3}$.

Answer 2

Para #2:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{C_{2k}^{k}}=\frac{1}{3}+\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}$$

Porque,

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{C^n_{2n}}=\frac{4(\sqrt{4-x}+\sqrt{x}\arcsin(\frac{\sqrt{x}}{2}))}{\sqrt{(4-x)^3}}$$

Que es porque $$\text{If we set, } A_n=\frac{1}{C^{n}_{2n}}$$ Entonces $$(4n+2)A_{n+1}=(n+1)A_n$$ Y así, $$\sum_{n=0}^\infty(4n+2)A_{n+1}x^n=\sum_{n=0}^\infty(n+1)A_nx^n$$

Así que si $$A(x)=\sum_{n=0}^\infty A_nx^n$$

$$\frac{d}{dx}A(x)-\frac{x+2}{x(4-x)}A(x)=\frac{-2}{4x-x^2}$$

Ya con un poco de trabajo puede comprobar $A(x)$ satisface la anterior ecuación diferencial.

Para #1:

Del mismo modo

Si dejas $K_n=\frac{1}{C^n_{3n}}$

Y,

$$F(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{C^n_{3n}}=\sum_{n=1}^\infty K_nx^n$$

Tenemos que, $3(3n+1)(3n+2)K_{n+1}=2(n+1)(2n+1)K_{n}$

Así, $$\sum_{n=1}^\infty 3(3n+1)(3n+2)K_{n+1}x^n =\sum_{n=1}^\infty 2(n+1)(2n+1)K_{n}x^n$$

Y por lo que somos,

$$4x^2\frac{d^2}{dx^2}F(x)-17x\frac{d}{dx}F(x)-\frac{4}{1-x}=0$$

Que es un de segundo orden lineal de la ecuación diferencial ordinaria, y puede ser resuelto en términos de funciones elementales, es decir, en términos de logaritmos y la tangente inversa de las funciones.

Una vez que usted ha $F$, a continuación, sólo calcular $$F(1)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{C^n_{3n}}$$