¿Existe un isomorfismo de anillo entre $M_n(D)$ y $M_m(D)$ donde $n\neq m$ y $D$ ¿es un anillo de división?
Sé que esto es imposible si hablamos de la izquierda $D$ -homomorfismos de espacios vectoriales (debido a la dimensión sobre $D$ debe ser el mismo). ¿Y si pensamos sólo en un isomorfismo de anillo?
No, esto no puede existir: Puedes recuperar $n$ de la clase de isomorfismo del anillo $M_n(D)$ como el número de sumandos irreducibles en la descomposición del regular $M_n(D)$ módulo.
Nota: Este argumento no es válido en el contexto categórico, es decir, cuando se habla de invariantes del categorías de módulos porque no hay una noción canónica de regular módulo. De hecho, como probablemente sabrás, $M_n(D)$ y $D$ tienen categorías de módulos equivalentes.
(Esto está relacionado con la misma idea que utiliza Hanno, pero me gusta decirlo así).
$M_n(D)$ como módulo derecho sobre sí mismo, tiene una serie de composición de longitud $n$ y lo mismo ocurre con $m$ . Pero la longitud de la serie de composición está definida de forma única, y los anillos isomorfos van a tener idénticas redes de ideales de derecha, por lo que $m\neq n$ no es posible.
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