Anillo de la valuación en un campo algebraico cerrado

Question

Que $k$ un campo algebraicamente cerrado y $(R, \mathfrak{m})$ un anillo de valuación en $k$ es decir, el campo de las fracciones de $R$ $k$. Entonces Mumford (libro rojo, página 127) afirmó que el residuo campo $R/\mathfrak{m}$ es también algebraicamente cerrado. Por favor ayuda.

Answer 1

Sea $\bar{k}=R/\mathfrak{m}$ el campo de residuos de la $R$. Fijar un % monic $\bar{f}(X)\in\bar{k}[X]$de grado positivo y que $f\in R[X]$ sea un ascensor monic de $\bar{f}$ (también de grado positivo). Por supuesto, $f$ tiene una raíz $\lambda$ $k$. Pero anillos de valoración son integralmente, sea en $\lambda$ $R$, $R$, ser integral. Así $\bar{\lambda}=\lambda+\mathfrak{m}$ es una raíz de $\bar{f}$ $\bar{k}$, por lo $\bar{k}$ es algebraicamente cerrada.