Existe un "grupo universal de objeto"? (respondió: ¡sí!)

Question

Quiero decir que un grupo de objetos en una categoría (por ejemplo, un grupo discreto, topológico grupo, algebraica de grupo...) es la imagen de un producto-la preservación de functor del "grupo de diagrama de objetos", $D$. Un problema con esta idea es que este diagrama de $D$ como una categoría en su propio no tiene suficiente estructura para hacer que el objeto etiquetados $``G\times G"$ realmente el producto de $G$ con sí mismo en $D$.

Hay una categoría de $U$ con un objeto de grupo de $G$ en que cada grupo de objetos en cada categoría otros $C$ es la imagen de $G$ menores de un producto-la preservación de functor $F:U\rightarrow C$, único hasta el isomorfismo natural?

(Está bien para mí si "producto-preservación" o "hasta el isomorfismo natural" se sustituyen por otros calificadores apropiados, como "límite de preservar"...)

Answer 1

Quizás este es un buen lugar para poner mi estándar de la propaganda de que la definición de "grupo" objeto de que está mal. Recordar que el tener la recíproca es típicamente una propiedad no es una estructura. El problema es que la inversa no es típicamente un morfismos, en cambio, es un "anti-morfismos." Esto es cierto en cualquier lugar que la noción de anti-morfismos tiene sentido (en particular: no conmutativa anillos colectores de Poisson).

Answer 2

Sí, la categoría U es el opuesto de la subcategoría plena de Grp en la libre de los grupos 0, 1, 2, ... generadores. Este es un ejemplo de Lawvere la teoría de las "teorías". Ver este nLab entrada para una discusión (de este ejemplo, en realidad).

Answer 3

Realmente me sugieren mirando a Steve Awodey de notas de la conferencia en la Lógica Categórica., encuentra aquí http://www.andrew.cmu.edu/user/awodey/catlog/notes/ La categoría que usted está buscando se llama "la teoría de grupos". Me parece que estas notas mucho más digerible que Lawvere originales publicados sobre el tema.

Esencialmente, usted puede formar una categoría en la que todos los objetos son productos de un solo objeto G, y la única morfismos entre ellos se encuentran los morfismos de salir de la definición básica de un objeto de grupo. Entonces, un grupo en cualquier categoría es un producto de la preservación de functor de esta categoría. En realidad, en este caso, es fácil ver que la categoría adecuada es justo el contrario del total subcategoría 1, F(1), F(2), ... , F(n), ... donde F(k) es el grupo k generadores.

Answer 4

Para elaborar Reid respuesta, existe una noción general de "operad", que proporciona universal "algebraica" de los objetos en el sentido que usted desea.

Una característica interesante de los grupos: un grupo de objetos es un producto de la preservación de functor de una categoría determinada. Un álgebra de Hopf objeto es un monoidal functor de una categoría, pero donde la estructura monoidal no necesita ser producto. A ver, si su estructura monoidal es Producto, a continuación, cada objeto de su categoría es un coassociative counital coalgebra de una manera única, y por lo que la mitad de los axiomas de Hopf son triviales.

¿Por qué importa esto? No hay interesantes objetos de grupo en Vect. En efecto, no hay interesantes (unital) monoid objetos, debido a que el producto en Vect es también un subproducto. Un monoid objeto es un objeto V y mapas e : {pt} → V y m : V x V → V, unital y asociativa. Así, en Vect es x ⊕ y {pt} es 0. Sólo hay una lineal mapa de 0 a V, así que sabemos lo que e es. Si el monoid es unital, entonces m(v \oplus 0) = v = m(0 \oplus v), y la linealidad de m se encarga del resto.