Mapas de restricción para la gavilla de la estructura de la especificación A

Question

El % de espacio $X = \operatorname{Spec} A$, definimos la estructura gavilla $\mathcal{O}_X$ como sigue. Para un subconjunto abierto $U \subseteq X$, dejamos $\mathcal{O}_X(U)$ ser el límite proyectivo de la familia $\{ A_f : f \in A, D(f) \subseteq U \}$ indexadas con el orden parcial $f \le g \iff D(f) \subseteq D(g)$. (Aquí $A_f$ denota la localización de $A$ en $f$.) Tengo problemas para entender cómo definir el % de mapas de restricción $\rho^U_V : \mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_X(V)$, $V \subseteq U$. Entiendo que debe ser inducido desde $\rho^{D(g)}_{D(f)} : A_g \to A_f$ de alguna manera ($D(f) \subseteq D(g)$), pero absolutamente no puedo averiguar lo que debería ser.

($D(f)$ son los principales conjuntos abiertos).

Answer 1

Si $V \subset U$ dentro de $\operatorname{Spec} A$, el principal abierta subconjuntos contenida en $V$ forman una subfamilia de las que figuran en la $U$. Por el universal, propiedad de la inversa límite, una manera de dar un homomorphism $\mathscr O(U) \to \mathscr O(V)$ es para dar un homomorphism $\mathscr O(U) \to A_f$ por cada $f \in A$ tal que $D(f) \subset V$, y en forma compatible. Desde $D(f) \subset U$, la proyección correspondiente a $f$ que viene con la inversa de limitar la definición de $\mathscr O(U)$ va a hacer este trabajo muy bien!