Resolver

Question

Este problema parece ser bastante simple para mi pero mi libro obtiene una respuesta distinta.

$$\frac{dy}{dx} = xy^2$ $ Para cuando y no 0$$ \frac{dy}{y^2} = x \, dx $$\int \frac{dy}{y^2} = \int x \, dx

$$\frac{-1}{y^1} = \frac{x^2}{2}$$

$$\frac{-2}{x^2} = y$$

¿Hay algo malo con esta solución? Es no qué obtiene mi libro pero es similar a cómo lo hacen en el ejemplo.

Answer 1

El error es aquí. Debe tener $$\int \frac{dy}{y^2} = \int y^{-2}dy = -y^{-1}$ $ y no$$ $\int \frac{dy}{y^2} = \frac{-1}{y^{-1}}$.

Answer 2

Cuando se aplica indefinido de integración, es necesario agregar un "${}+C\,$" (o la letra que desee) al final; esto es más bien infame para el disparo de estudiantes. En el problema de esto da

$$-\frac{1}{y}=\frac{x^2}{2}+C~~\implies~~ y=\frac{1}{-(x^2/2+C)}=\frac{2}{-x^2-2C}.$$

Si escribimos $K=-2C$ (o más, cualquier letra anterior), podemos escribir esto simplemente como $\displaystyle\frac{2}{K-x^2}$.

La razón por la que tenemos ", además de un constante" al final es para evitar erróneas derivaciones como este:

$$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}\big(f(x)+1\big)\implies f(x)=f(x)+1\implies 0=1.$$

En otras palabras, anti diferenciación sólo podrá encontrar la antiderivada usted desea hasta la adición de un desconocido constante. (Sin embargo, con algunas condiciones iniciales de esta constante, o constantes , como puede ser en problemas más complicados, puede ser calculado exactamente.)

Tenga en cuenta que sólo es necesario escribir un add-una-constante a un lado de la ecuación, porque, por ejemplo, algo como $f(x)+A=g(x)+B$ puede ser escrita en su lugar como $f(x)=g(x)+C$ con nuestra constante $C=B-A$.

Answer 3

Continuando con lo que has hecho, tenemos

$$\int \frac{dy}{y^2} = \int x\,dx$$

$$-\frac{1}{y} + C_2= \frac{x^2}{2}+C_1$$

Donde $C_1$ y $C_2$ son constantes de integración. Dejar $C_3=C_1-C_2$

$$-\frac{1}{y} + C_2= \frac{x^2}{2}+C_1=-\frac{1}{y}= \frac{x^2}{2}+C_3$$

Resolución de $y$, tenemos:

$$-\frac{1}{y}= \frac{x^2}{2}+C_3= \frac{x^2+2C_3}{2} \implies -y = \frac {2} {x ^ 2 + 2C_3} \\ y \implies = \frac {2} {2C_3-x ^ 2} $

Dejar $2C_3=K$

$$y=\frac{2}{2C_3-x^2}=\frac{2}{K-x^2}$$