¿Puedes encontrar un Polinomio de Grado 7 que tenga 2 raíces complejas y 5 reales?

Question

¿Puedes encontrar un Polinomio de Grado 7 que tenga 2 raíces complejas y 5 reales?

El polinomio, llámalo $f(x)$ debe ser irreducible sobre $\mathbb{Q}$ (o sobre $\mathbb{Z}$ ya que se puede usar el lema de Gauss) y tener coeficientes enteros. No tengo ni idea de cómo generar un polinomio así.

He intentado algo como $f(x) = x^5(x^2 - 5) + 5

Ya que estos son fácilmente irreducibles con el Criterio de Eisenstein $(p = 5)$

Peter ha amablemente mostrado (vía fuerza bruta) que $$x^7+x^6-3x^5-x^4-2x^3-3x^2+x+1$$

Cumple dicho criterio, sin embargo aún no ha mostrado que esto sea irreducible. ¿Alguien puede hacerlo?

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Gracias a achille hui quien me ha dado mi respuesta de:

$f(x) = x^7+1000003(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)$

lo cual es irreducible por Eisenstein con $p = 1000003$.

Answer 1

Otra posibilidad es tomar cualquier polinomio entero mónico $m(x)$ con 5 raíces reales distintas (diferentes de cero) y considerar el polinomio de la forma $x^7+pm(x)$ para p primo suficientemente grande. p. ej.

$f(x) = x^7+1000003(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)$

que es irreducible por Eisenstein con $p = 1000003$.

Crédito - achille hui. Publicado como respuesta en lugar de comentario para mayor claridad.

Answer 2

Busqué un polinomio con las propiedades deseadas con un sencillo programa en PARI :

? gef=0;while(gef==0,x=vector(8,n,random(5)-3);f=Pol(x);if(poldegree(f)==7,if(polisirreducible(f)==1,if(polsturm(f)==5,gef=1))));print(x) [1, 1, -3, -1, -2, -3, 1, 1] ? f %9 = x^7 + x^6 - 3*x^5 - x^4 - 2*x^3 - 3*x^2 + x + 1 ? factor(f) %10 = [x^7 + x^6 - 3*x^5 - x^4 - 2*x^3 - 3*x^2 + x + 1 1]

? polroots(f) %11 = [-2.204324318649112296500613456 + 0.E-28*I, -0.826822651324028965973042087 7 + 0.E-28*I, -0.5202407805205017136797052000 + 0.E-28*I, 0.56879782917907405112 96444628 + 0.E-28*I, 1.718030795521740576069959364 + 0.E-28*I, 0.132279562896414 1744768784582 + 1.030409728847455964396114753*I, 0.1322795628964141744768784582 - 1.030409728847455964396114753*I]~

? polsturm(f) %12 = 5 ?

El polinomio encontrado es :

x^7 + x^6 - 3*x^5 - x^4 - 2*x^3 - 3*x^2 + x + 1

Mejor formateado :

$$x^7+x^6-3x^5-x^4-2x^3-3x^2+x+1$$