Titular La prueba de la desigualdad es un callejón sin salida

Question

Dado $p \in (1,\infty)$ y $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ y $x,y \in \mathbb{R}^n$ demuestran que..:

$$\sum_{j=1}^n |x_jy_j| \leq |x|_p|y|_q$$ donde $|x|_p :=\left(\sum_{j=1}^n |x|^p \right)^{1/p}$

Creo que aquí se puede utilizar la desigualdad de Young. Si puedo reducir la desigualdad dada de alguna manera a la desigualdad de Young entonces habría demostrado la desigualdad de Holder. Ya que la función logarítmica es monotónicamente creciente:

$$\log{\sum_{j=1}^n |x_jy_j|} \leq \log{|x|_p|y|_q}$$ $$\log{\sum_{j=1}^n |x_jy_j|} \leq \frac{1}{p}\log{\sum_{j=1}^n |x_j|^p} + \frac{1}{q}\log{\sum_{j=1}^n |y_j|^q}$$

Ahora la desigualdad de Young es: $uv \leq \frac{1}{p}u^p+\frac{1}{q}v^q$ . Así que si puedo demostrar que cuando (definir): $u^p := \log{\sum_{j=1}^n |x_j|^p}$ multiplicado por $v^q:=\log{\sum_{j=1}^n |y_j|^q}$ es $\log{\sum_{j=1}^n |x_jy_j|}=uv$ entonces he demostrado la desigualdad de Holder. Pero no importa cómo enfoque esta parte posterior, llego hasta aquí:

$$uv=\frac{1}{p}\frac{1}{q}\log{\sum_{j=1}^n |x_j|^p}\log{\sum_{j=1}^n |y_j|^q}$$

Y no puedo seguir adelante.

Answer 1

Sugerencia: Suponga que $x$ y $y$ no es cero. Sea $\widehat{x}_i=x_i/|x|_p$ y $\widehat{y}_i=y_i/|y|_q$ . A continuación, aplique la desigualdad de de Young: $$ \sum_i |\widehat{x}_i \widehat{y}_i| \leq \frac{1}{p} \sum_i |\widehat{x}_i|^p + \frac{1}{q} \sum_i |\widehat{y}_i|^q = \frac1p + \frac1q =1$$ y se obtiene la desigualdad deseada para $\sum_i |x_iy_i|$ .