No es el enfoque topológico de preguntar acerca de, pero de una norma técnica algebraica es escribir su curva como el lugar geométrico de un polinomio homogéneo. Para la primera curva, usted tiene $2zw - w^2 - 1 = 0$; el tratamiento de la $z = Z/T$ $w = W/T$ ratios de coordenadas homogéneas en $\mathbf{P}^2$, la anterior ecuación se convierte en $2ZW - W^2 - T^2 = 0$. Este es un buen cónica (por el Teorema de la Función Implícita, por ejemplo), por lo tanto isomorfo a $\mathbf{P}^1$ por el grado de género de la fórmula. A ver lo que la curva se ve como en los otros dos afín gráficos para$\mathbf{P}^2$, $Z = 1$ (obtención de $2w - w^2 - t^2 = 0$ afín coordenadas $w = W/Z$$t = T/Z$) o $W = 1$ (obtención de $2z - 1 - t^2 = 0$).
Por un procedimiento similar, su segunda curva tiene la ecuación homogénea $2ZW^2 - W^3 - T^3 = 0$. Este es un singular cúbicos, con un nodo en $[T:Z:W] = [0:1:0]$. Los afín a las representaciones en los otros dos gráficos se $2w^2 - w^3 - t^3 = 0$ (al $Z = 1$) y $2z - 1 - t^3 = 0$ (al $W = 1$).
Aunque no son idénticas a sus ejemplos, las imágenes aquí puede ser útil en la visualización de sus superficies.
Añadido en la edición: Una expresión algebraica locus $F(z, w) = 0$ $\mathbf{C}^2$ puede ser compactified en $\mathbf{P}^2$ por la homogeneización como se describió anteriormente, o en $\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1$ mediante la introducción de variables de $u = 1/z$$v = 1/w$, teniendo en cuenta el resultado de cuatro loci, y uniéndolos mediante la identificación, por ejemplo, $(z, w)$$(1/u, w)$.[*]
La "costumbre" topológico de la construcción de una superficie de Riemann en $\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1$ comienza con un multi-función con valores de (un.k.una. ramificada de la cobertura), decir $w$, expresado como un multi-función con valores de $z$. Uno lleva una "copia" de $\mathbf{C}$ por cada hoja de la cubierta, hace apropiado cortes entre los puntos de ramificación en cada copia, a continuación, se une los bordes de las ranuras de forma consistente con la continuación analítica.
En los dos ejemplos a la mano, $z$ ya está expresada como una función de meromorphic $w$, por lo que la "hendidura hojas" de la construcción no es estrictamente necesario; cada superficie de Riemann es biholomorphic a $\mathbf{P}^1$ través $w \mapsto (z, w)$. Sin embargo, aquí es cómo la construcción para la primera, que es formalmente más sencillo de manejar:
El locus $z = \frac{1}{2}(w + \frac{1}{w}) = f(w)$ puede ser escrito $w^2 - 2zw + 1 = 0$. El uso de la fórmula cuadrática para resolver por $w$, $w = -z \pm \sqrt{z^2 - 1}$ $2$valores de la función con los puntos de ramificación $z = \pm 1$ (la crítica de los valores de $f$). Para la construcción de la superficie de Riemann, fijar una rama de la raíz cuadrada, es decir, la rama definida fuera de la no-real positiva del eje que es positivo en el eje real positivo. Tomar dos copias de $\mathbf{C}$, de la rendija, cada uno a lo largo del segmento $[-1, 1]$ donde $\sqrt{z^2 - 1}$ es indefinido, y "cross-unirse a" los bordes de las aberturas, de modo que (por ejemplo) el eje imaginario positivo en una copia "sigue" a la negativa eje imaginario en la otra copia. No hay una ramificación en $\infty$, por lo que la superficie resultante puede ser visualizado como un par de hendidura pelotas de ping-pong con las ranuras de la cruz-pegado; esta superficie es topológicamente una esfera (una copia de $\mathbf{P}^1$ con coordinar $w$), y los dos sábana que cubre es afectado por la asignación de $f$, cuya imagen es una copia de $\mathbf{P}^1$ con coordinar $z$.
Uno de los "clásicos" de la construcción de un toro comienza con una ecuación de la forma$z^2 = w(w - 1)(w - w_0)$, $w_0$ un número complejo distinto de $0$$1$. Sin entrar en grandes detalles, que lleva dos copias de $\mathbf{C}$ y hace el mismo dos ranuras en cada uno, de modo que cada punto de ramificación $0$, $1$, $w_0$, y $\infty$ es el fin de una rendija. De nuevo, de la cruz-pega los bordes de las ranuras. Topológicamente, dos esferas se han unido mediante la eliminación de dos "correspondiente" de los discos de cada uno y adjuntar el correspondiente límite de círculos. Tomando un polinomio de grado $2g+1$ o $2g+2$ a la derecha, de igual modo uno obtiene una superficie de Riemann arbitraria de género $g \geq 0$. (Estas superficies son "hyperelliptic", es decir, admiten que una de dos toldo holomorphic mapa a $\mathbf{P}^1$, pero al menos es posible ver cómo el más complicado topológico tipos surgir.)
[*] Para pasar geométricamente a partir de una compactification a la otra, vamos a $[Z:W:T]$ denotar homogénea coordenadas en $\mathbf{P}^2$; volar los puntos de $[1:0:0]$$[0:1:0]$, luego soplar la adecuada transformación de la línea de $T = 0$ "en el infinito" en el afín tabla con las coordenadas de $(z, w) = (Z/T, W/T)$. Para ver este tiene afirmó efecto, recordemos que un suave quadric surface $Q$ $\mathbf{P}^3$ es biholomorphic a $\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1$. Fijar un punto de $p$ sobre el quadric y un hyperplane $P$ no pasar por $p$. Proyección de distancia de $p$ mapas de $Q\setminus\{p\}$$P\setminus\{p\}$; este mapa se colapsa las dos decisiones de $Q$ pasando a través de $p$, pero de lo contrario es un biholomorphism, desde un genérico línea en $\mathbf{P}^3$ golpea el quadric $Q$ exactamente dos veces. Esta proyección no se extiende holomorphically a $p$, pero no se extienden a la blow-up de $Q$$p$. En consecuencia, el golpe de $Q$ $p$ es biholomorphic para el golpe de $P$ a los dos puntos.
Segunda edición: Técnicamente, el "cortar-y-cruz-pegamento" de la construcción con dos hojas de obras como esta: Vamos a $\mathbf{C}_1^+$ $\mathbf{C}_1^-$ denotar el cerrado superior e inferior de la mitad de los aviones en la "primera copia", y lo mismo para $\mathbf{C}_2^\pm$.
Si $z_{0}$ es un punto de $(-1,1)$$\mathbf{C}_1^+$, un disco barrio de $z_0$ se obtiene de abrir la mitad-discos de igual radio en $\mathbf{C}_1^+$ $\mathbf{C}_2^-$ mediante la identificación de sus puntos de límite. Del mismo modo, si $z_{0}$ es un punto de $(-1,1)$$\mathbf{C}_2^+$, un disco barrio de $z_0$ se obtiene de abrir la mitad-discos de igual radio en $\mathbf{C}_2^+$ $\mathbf{C}_1^-$ mediante la identificación de sus puntos de límite.
Si $z_{0}$ es un punto de $(-\infty,-1)$ o $(1, \infty)$$\mathbf{C}_1^+$, un disco barrio de $z_0$ se obtiene de abrir la mitad-discos de igual radio en $\mathbf{C}_1^+$ $\mathbf{C}_1^-$ mediante la identificación de sus puntos de límite, es decir, volver a unir lo que ha sido dividido en pedazos.
Finalmente, un disco barrio de $1$ (o de $-1$) se obtiene a partir de las cuatro de la mitad-discos de igual radio (menor que $2$), uno en cada cerrado la mitad de plano. Los cuatro centros están todos identificados. Cada uno de los dos límites de los radios en cada mitad del disco es identificado con un límite de radio en alguna otra mitad de disco, como se muestra:
![gluing boundaries of half-disks at a branch point]()
Cada punto real $z_{0} \neq \pm 1$ corresponde a dos puntos de la superficie de Riemann; los puntos de ramificación $\pm 1$, corresponden a un punto geométrico, pero contados dos veces de manera algebraica.
