¿$\sup_{x\in \mathbb{R}} \int_0^\varepsilon e^{ay}|f(x-y)|dy\to 0$ Cuando $\varepsilon$ $0$?

Question

Que $a$ ser un número real y $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a la función. Si se limita la función $f$, entonces podemos ver que $$\sup_{x\in \mathbb{R}} \int_0^\varepsilon e^{ay}|f(x-y)|dy\to0,$$ as $\varepsilon$ goes to $0$. Now if we weaken the boudedness of $f$ by the following condition: $f\in L^p_{loc}$ and $\sup_{x\in \mathbb{R}}\int_x^{x+1} | f (y) | ^ pdy < \infty$ for some $p > 1$, then we have the same conclusion, because by Hölder we have $% $ $\sup_{x\in \mathbb{R}} \int_0^\varepsilon e^{ay}|f(x-y)|dy\leq \left(\int_0^\varepsilon e^{qay}dy\right)^{\frac{1}{q}}\sup_{x\in \mathbb{R}}\left(\int_{x-\varepsilon}^x |f(y)|^pdy\right)^\frac{1}{p}\to 0,$$\varepsilon \to 0$, donde $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

¿Pero ahora si nos debilitan aún más y asumir que $f\in L^1_{loc}$ y $\sup_{x\in \mathbb{R}}\int_x^{x+1} |f(y)|dy<\infty$, tenemos la misma conclusión?

Answer 1

No puedo comentar en tu comentario, así que voy a responder en su lugar. Yo estaba pensando en esta pregunta antes y pensó de inmediato a esta función cuando se intenta construir un contra ejemplo. Yo no he puesto todas las piezas juntas, pero su comentario demuestra que es obvio que está pensando a lo largo de las mismas líneas, así que voy a aportar lo que puedo.

Considero que mi favorito "contra-ejemplo para los físicos de hacer declaraciones incorrectas acerca de la $L^2$ porque están pensando acerca de wavefunctions" función:

Deje $f$ cero en $(-\infty, 0)$ y se define como sigue en cada intervalo de $(n,n+1)$ $n = 0, 1, 2, 3, \ldots$ En el intervalo de $(n, n+1)$, $f$ es igual a 0 en $(n, n + 1 - \frac{1}{n})$ $f$ es igual a $n$$(n + 1 - \frac{1}{n}, n)$. Esta función tiene la propiedad de que $$\int_n^{n + 1} | f(y) |\ dy = 1$$ para todos los $n$.

Además, para cualquier $\epsilon > 0$, tenemos para todos los $n > \frac{1}{\epsilon}$, $$\int_{n - \epsilon}^n |f(y)|\ dy = 1.$$ De donde se sigue que $\sup_{x\in\mathbb{R}} \int_{x - \epsilon}^x |f(y)|\ dy$ no va a cero, como se $\epsilon \rightarrow 0$.

edit: no he estado, pero $f$ es claramente en $L^1_\text{Loc}$.