Subgrupo normal de un subgrupo normal

Question

Que $F,G,H$ ser grupos tales que $F\trianglelefteq G \trianglelefteq H$.

Me preguntan si tenemos necesariamente $F\trianglelefteq H$. Creo que la respuesta no es pero no puedo encontrar ningún contraejemplo con grupos habituales. ¿Hay un caso simple donde esta propiedad no es cierto?

Answer 1

Que $H=D_8$, el grupo de simetrías de una plaza en saltos y rotaciones. Sea $F$ el subgrupo de volteretas sobre el eje vertical de simetría. Que $G$ las simetrías que puede encontrar combinaciones de esas volteretas y $180$ grado rotaciones. Puede mostrar que es normal en $F$ $G$, y es normal en $G$ $H$.

Ahora $h$ ser un giro de 90 grados en sentido horario y que $f$ un tirón. Puede mostrar que $hfh^{-1}$ no es una tapa o la identidad, por lo $F$ no es un subgrupo normal de $H$.

Answer 2

ps

Answer 3

Tomar cualquier grupo finito soluble $G$ que tiene un subgrupo normal mínima $M$ que no es cíclico. Sea $\langle x \rangle$ cualquier subgrupo cíclico de no identidad de $M.$ entonces $\langle x \rangle \lhd M \lhd G,$ $\langle x \rangle \not \lhd G$, ya que es un mínimo $M$ normal, pero no cíclico. Ahora se trata de encontrar un grupo resoluble con un subgrupo normal mínima no-cíclico, que no es difícil.

Answer 4

Deje $p$ ser una de las primeras, y deje $G$ $p$- grupo de orden $p^3$. Deje $H \leq G$ que no sea un subgrupo normal de orden $p$ (equivalentemente, $H$ es de orden $p$ y no central). A continuación, $H$ está contenida en un subgrupo $K \leq G$ orden $p^2$. En este caso,$H \trianglelefteq K \trianglelefteq G$, pero $H$ no es normal en $G$.

Por ejemplo, $G$ podría ser el grupo de Heisenberg, que es el conjunto

$$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} : a, b, c \in \mathbb{Z}_p \right\}$$

de matrices en la multiplicación. En el caso de $p = 2$ este grupo es isomorfo a $D_8$, que es el ejemplo que se da en otra respuesta.